Метод Ньютона.

Рассмотрим уравнение , – корень, . Построим итерационное правило уточнения корня в методе Ньютона.

Пусть найдено k -е приближение . Представим . Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки функцию :

.

Полагая, что – решение и, ограничившись двумя членами разложения, относительно поправки получим уравнение

.

Отсюда , а итерационное правило метода Ньютона примет вид

.

Здесь – начальное приближение.

Такие последовательные приближения могут быть построены, если, во-первых, все принадлежат области определения функции и, во-вторых, для всех x_k выполняется неравенство .

Геометрический смысл правила Ньютона весьма прост. В плоскости построим график функции (см. рис. 8.1). Точное решение будет точкой пересечения этого графика с осью абсцисс. Рассмотрим на этом графике точку и проведем касательную, проходящую через точку . Точку пересечения касательной с осью обозначим .

Из треугольника видно, что или

.

Геометрическая интерпретация правила Ньютона может быть сформулирована следующим образом: последующее приближение ищется как точка пересечения с осью абсцисс касательной к функции

в предыдущей точке .

Рассмотрим теперь, как ведет себя погрешность решения на двух соседних итерациях. Обозначим , . Подставим и в формулу итерационного процесса:

. (◙)

Разложим функции, входящие в это соотношение, в ряд Тейлора в окрестности точки :

Подставим эти разложения, пренебрегая остаточным членом, в соотношение (◙):

.

Выполним очевидное преобразование

или

.

Членом при малых можно пренебречь. Окончательно

.

Говорят, что скорость сходимости метода Ньютона квадратична. Это означает, что если мало, то число правильных десятичных цифр примерно удваивается после каждой итерации. Это свойство является причиной того, что метод Ньютона – наилучший метод общего назначения для решения нелинейных уравнений.

Проведенный анализ устанавливает вероятную сходимость метода Ньютона, т. к. соотношения, связывающие погрешности на двух соседних итерациях, получены путем отбрасывания малых членов. Приведем одну из простых теорем, которая дает условия, достаточные для его сходимости.