Квантованные полярные оптические моды

Принципиально другие возбуждения могут возникать в кристаллах, где существуют полярные моды. О существовании мод, обладающих дипольным моментом, хорошо известно. Многие моды в рассматриваемых полупроводниках являются полярными. В этом случае явления, возникающие около интерфейсов (гетеропереходов) между двумя полупроводниками, из которых, по крайней мере, один является полярным, специфичны. Сначала рассмотрим случай одиночного планарного гетероперехода, потом двойного гетероперехода (т.е. квантовой ямы) и, наконец, периодический случай сверхрешетки.

При рассмотрении фононов в таких двумерных структурах мы будем пренебрегать так называемыми эффектами запаздывания (т.е. поляритоном). Это означает, что длины волн рассматриваемых возбуждений предполагаются малыми по сравнению с длинами волн фотонов той же частоты, и, следовательно, можно пренебречь волновой природой электрических полей, сопровождающих движение ионов. Эти поля имеют электростатическое происхождение, т.е. подчиняются только уравнению Гаусса и соответствующему уравнению Максвелла (см. Раздел 5.4, поляритон, стр. 102).

.

В этих уравнениях чтобы пренебречь эффектами запаздывания необходимо положить равной нулю производную по времени:

Ñ E =0 div E =0.

В этом уравнении подразумевается, что поле Е можно найти из скалярного потенциала ф (r), который должен удовлетворять уравнению Лапласа:

Ñ ²ф (r) = 0,

а также обычным граничным условиям непрерывности для компонент электрического смещения D _┴ = ε _AE _┴ перпендикулярного к интерфейсу, и непрерывности параллельных компонент поля E_||. Для одиночного интерфейса между двумя полупроводниками А и В с изотропными диэлектрическими функциями ε _A (ω)и ε _B (ω) должно выполняться:

E_||А = E_||В

ε _AE_{┴ A}= ε _AE_{┴ A}.

Решения уравнения Лапласа при учете написанных выше электростатических граничных условий и того факта, что Е = –Ñ ф (r), можно представить в следующем виде. Мы предполагаем, что интерфейсом является плоскость z = 0, a z < 0 соответствует среде А.

ф_A = Ae^iqxe^+qz при z < 0,

ф_B = Be^iqx e^–qz при z > 0,

где ось х выбрана вдоль направления вектора q, лежащего в плоскости, a q_z ² = q_x ², как следует из уравнения Лапласа. Отметим, что полученный потенциал ф_A и ф_B отражает наличие трансляционной симметрии (т.е. тот факт, что потенциалы ф должны быть функциями Блоха) вдоль х и у и отсутствие ее вдоль z. Потенциалы ф_А и ф_B сконцентрированы вблизи интерфейса, поскольку они экспоненциально затухают по мере удаления от z = 0. Моды, которые описываются такими функциями, называются интерфейсными модами.

Применение граничного условия E_||А = E_||В для компонент поля ф_A и ф_В приводит к равенству коэффициентов А = В, в то время как условие ε _AE_{┴ A}=ε _AE _{┴ A} приводит к «секулярному уравнению» для частот интерфейсных мод ω _IF:

ε _A (ω _IF)= –ε _B (ω _IF).

Оно имеет решения только в том случае, когда существуют частоты, для которых две диэлектрические функции ε _A и ε _B имеют противоположные знаки.

Следовательно, в случае интерфейса между полярным полупроводником (например, GaAs) и неполярным (например, Ge или Si) должна существовать одна интерфейсная мода в области частот ω _TO < ω _if < ω _lo (рис. 63), тогда как в случае интерфейса между двумя полярными полупроводниками, к примеру, GaAs и AlAs, должно быть две интерфейсных моды, одна GaAs-подобная, а другая AlAs-подобная.

Рис. 63. Схема, иллюстрирующая получение решения для интерфейсного фонона ω в случае контакта между полярным полупроводником А, имеющим резонанс на частоте ω _TO, и неполярным материалом В путем построения зависимости ε _A и – ε _B от ω.

Рассмотрим теперь случай квантовой ямы из материала В с барьером из материала А (см. рис. 47 квантовой ямы и рис. 64 схематического изображения квантовой ямы). Вследствие симметрии отражения относительно центральной плоскости, являющейся центром слоя B, решение уравнения Лапласа должно быть четным или нечетным по отношению к отражению в этой плоскости. Четности также указаны на рисунке. Благодаря такому выбору ф (r)граничные условия достаточно применить на одном из интерфейсов. Условия на другом интерфейсе будут удовлетворяться автоматически.

Итак, для интерфейса АВ в левой части рис. 64 находим:

А = B [l ± e^–qxd ], Аε е_А (ω) = –Вε _B(ω)[1 ± e^–qxd ].

Соответствующее секулярное уравнение приводит к двум ветвям:

ε _A(ω) =– ε _B(ω) th (q_xd)

ε _A(ω) =– ε _B(ω) ch (q_xd).

Электростатические моды в периодической квантовой яме, т.е. в сверхрешетке, состоящей из слоев материала А с толщиной d_A и материала В с толщиной d_B, можно получить при наложении на потенциал ф (х, z)блоховского условия, связанное с периодичностью сверхрешетки. Используя граничные условия (для Е _||и D _┴ )на каждом из интерфейсов АВ и ВА, можно получить типичное секулярное уравнение:

,

.

Рис. 64. Схематическое изображение одиночной квантовой ямы В с барьерами из материала А. Показаны волновые функции (сплошные кривые), соответствующие четному (знак +) и нечетному (знак –) потенциалу интерфейсных мод.

Это уравнение позволяет вычислить зависимость величины блоховского волнового вектора k в сверхрешетке (вдоль направления роста) от ω и q_x. Интересно, что написанное уравнение появилось в результате применения электростатических граничных условий, и не гарантирует выполнения механических граничных условий. Оказывается, это приводит к интерфейсным волнам, имеющим не нулевые смещения на границе двух сред. Полезно рассмотреть несколько предельных случаев в решении этого уравнения, и, прежде всего, случай распространения в плоскости при k = 0, но q_x ≠ 0. Можно показать, что эти решения сводятся к двум ветвям:

либо – ε _A(ω)/ ε _B(ω)= th(q_xd_A/ 2)ch(q_xd_B/ 2),

либо – ε _A(ω)/ ε _B(ω)= th(q_xd_B/ 2)ch(q_xd_A/ 2).

В случае, когда величина суммарного волнового вектора (q_x + k ²)^1/2стремится к нулю, секулярное уравнение сводится к виду

< ε (ω) > < ε ^–1(ω) > = tg² θ,

где < > обозначают среднее значение функций на одном периоде сверхрешетки, а θ – угол между волновым вектором и осью роста решетки. Можно установить, что даже при (q_x, k)→ 0 частота имеет дисперсию, являясь функцией угла θ. Последнее связано с сингулярной природой кулоновского взаимодействия.

В случае распространения волны в плоскости сверхрешетки (т.е. когда угол θ = π /2) уравнение < ε (ω) > < ε ^–1(ω) > = tg² θ распадается на два уравнения следующего вида:

< ε (ω) > =1/ d _AB[ d_Aε _A (ω)+ d_Bε _B (ω)]=0

< ε ^–1(ω) > = 1/ d _AB[ d_{A /} ε _A (ω)+ d_{B /} ε _B (ω)]=0.

Две резонансных частоты в случае стремящегося к нулю волнового вектора при θ = π /2 становятся равными частотам интерфейсных фононов в случае одного интерфейса. При d_A ≠ d_B вырожденные частоты расщепляются.

Вышеупомянутые уравнения, справедливые при θ = π /2, можно непосредственно получить, применив граничные условия для E _|| и D _┴ при k_х → 0 (т.е. бесконечной длине волны вдоль х). В этом случае с помощью ф (х, z), приведенного на рис. 64 для слоя В, можно увидеть, что Е_х однородно для четных решений, a E_z — для нечетных. Для первого случая из граничного условия для Е _||:

E _||A= E _||B

и после усреднения по А и В (по периоду) находим:

< D _||A> = < ε (ω) > D _||B.

Поэтому периодическую сверхрешетку можно рассматривать как кристалл, имеющий эффективную диэлектрическую функцию < ε (ω) >. «Продольные» моды эффективной среды имеют частоту, определенную выражением < ε (ω) > =1/ d _AB[ d_Aε _A (ω)+ d_Bε _B (ω)]=0. В «нечетном» случае Е _┴ однородна, а непрерывность D _┴ приводит к уравнению

E _┴ = < 1/ ε (ω)> D _┴.

Соответствующую частоту действительно можно найти из выражения для средней обратной диэлнктрической проницаемости < ε ^–1(ω) > = 1/ d _AB[ d_A / ε _A (ω)+ d_B/ε _B (ω)]=0. На основании всего изложенного можно рассматривать сверхрешетку как кристалл, в котором объемная симметрия составляющих его сред понижена вследствие слоистости структуры: для системы GaAs/AlAs, выращенной вдоль (001), кубическая точечная группа Т_d понижается до тетрагональной группы D_2d. Таким образом, можно ожидать, что поперечный эффек­тивный заряд е * электронов, определяющий диэлектрическую постоянную среды будет анизотропным, т.е. с разными значениями вдоль направлений [001] и [100]. Поэтому и величина LO-TO зависит от угла θ между вектором распространения волны и осью [001], так что расщепления для θ = π /2 всегда меньше, чем для θ =0.

Рис. 65. Схема, иллюстрирующая влияние электростатических эффектов на фононы, распространяющиеся a) – вдоль и b) – перпендикулярно оси сверхструктуры для мод А-типа.

Рис. 65 дает простое качественное объяснение данному факту. На рис. 65 а эффект деполяризующего поля, приводящий к LO-TO расщеплению, равному расщеплению в объеме, иллюстрируется для распространения вдоль z. На рис. 65 b изображен случай распространения LO мод вдоль х. Мы видим, что деполяризующие поля генерируются в слое А для А -подобных мод, но не генерируются в слое В. Вследствие этого деполяризующее поле и сопутствующее ему LO-TO расщепление становятся меньше.

Приведенная выше картина угловой дисперсии LO-TO расщеплений, подобная той, которая наблюдается в обычных не кубических полярных кристаллах, позволяет сделать еще несколько очевидных выводов. «Интерфейсные» эффекты должны иметь место только для мод, активных в поглощении. В обозначениях выражений u_m (z) = cos k_mz, m= 1, 3, 5...и u_m (z)= sin k_mz, m= 2, 4, 6,... эти моды соответствуют нечетным значениям т: для четных мод смещения, а, следовательно, и индуцированные дипольные моменты (т.е. средние эффективные заряды), в результате усреднения по одному слою становятся равными нулю. Самые большие эффективные заряды (примерно равные объемным) получаются для т = 1. Для нечетных т ≥ 3 эффективный заряд уменьшается в 1 /т раз, а соответствующее LO-TO расщепление — в 1/ т ² раз. Поэтому ожидается, что для т ≥ 3 эффекты, связанные с «интерфейсными модами», будут малы.

Рис. 66. 1 – Огибающая функция для квантованной TO1 моды сверхрешетки (GaAs)₆/(AlAs)₆ с осью роста вдоль направления [111]. 2 – Эквивалентные моды для θ = π /2 с плоской вершиной, характерной для интерфейсных мод. (Несмотря на название, эти моды не локализованы около интерфейсов вследствие бесконечной малости q_x. Однако они ближе прижаты к интерфейсам, чем квантованные моды. 3 и 4 – огибающие функции при θ = π /2 для LO-подобных IF мод и мод с m =3. Видно, что их можно разложить на смесь моды типа 2 с плоской вершиной и квантованной моды с m = 3.

Важным является также вопрос о том, как можно обосновать пренебрежение механи­ческими граничными условиями, и о возможных последствиях этого пренебрежения. Для θ = π /2 и q_x → 0 четная мода на рис. 66 приводит к постоянным значениям ф (r)и и_х внутри слоя В (LO-подобная мода). Для нечетной моды постоянно u_z (ТО-подобная мода). Поскольку для В-подобных мод атомное смещение и в слое А должно быть равно нулю, мы сталкиваемся с принципиальным нарушением непрерывности смещений и при пересечении интерфейсов.

Необходимо сказать, что микроскопические расчеты показывают, что внутри слоя смещения u почти постоянны для интерфейсных мод с m = 1, а вблизи интерфейса стремится к нулю (рис. 66, кривая 2).

При непрерывном изменении θ от 0 до π /2 длинноволновые моды с m = 1 из выражения u_m (z) = cos k_mz, становятся главными интерфейсными модами, а огибающая функция вместо синусоидальной формы, приведенной на рис. 61, приобретает форму с плоским верхом, характерную для IF мод (см. рис. 66, крисая 2).Такая эволюция связана с дальнодействующими электростатически­ми полями. Поэтому интерфейсные IF моды будут вследствие граничных условий смешиваться со всеми ИК-активными квантованными модами с т = 3, 5, 7,... В результате смеши­вания в дисперсионных зависимостях будут возникать сложные моды, показанные на кривых 3 и 4 на рис. 66.