Рамановское рассеяние на интерфейсных модах

Для наблюдения ин­терфейсных мод с помощью рамановской спектроскопии волновой вектор рассеянно­го света должен иметь компоненту в плоскости структуры, так чтобы выполнялось условие θ > 0. Однако, впервые интерфейсные моды наблюдались в геометрии рассеяния назад вдоль направления z. При этом необходи­мый волновой вектор в плоскости структуры возникал вследствие шероховатостей на индивидуальных интерфейсах (благодаря которым в плоскости нарушалась трансля­ционная инвариантность). На рис. 67 приведены спектры комбинационного рассеяния для AlAs-подобных мод в сверхрешетке GaAs/AlAs. Широкая полоса, расположенная посередине между частотами LO и ТО фононов, характерна для интерфейсных мод в симмет­ричных структурах (т.е. при d _A= d _B). Наблюдаемыйпик соответствует соотношению ε _A (ω _IF)= – ε _B (ω _IF). В асимметричном случае для получения длинноволновых решений при θ = π /2 следует использовать выражения для средних значений диэлектрической проницаемости в плоскости гетероструктуры и в перпендикулярном направлении ε _xy и ε _z. В отличие от симметричного случая, при d _A≠ d _B по­являются две различных моды. Им отвечают две полосы в спектрах, приведенных в нижней части рис. 67. Доминирует полоса с большим или с меньшим рамановским сдвигом в зависимости от условия d _A> d _B или d _A< d _B.

Спектры на рис. 67 и рис. 68 можно качественно объяснить как проявление простых электростатических интерфейсных мод без учета взаимодействия с квантованными модами с нечетными значениями m.

Рис. 67. Рамановские спектры в области частот оптических фононов объемного AlAs, полученные в резонансных условиях при E || E_s для СР GaAs/AlAs (А/В) с различными отношениями между толщиной слоев: при Т = 10 К.

Рис. 68. Сравнение расчетных (сплошные кривые) и измеренных (пунктир) рамановских спектров, обусловленных GaAs-подобными оптическими модами в МКЯ GaAs/AlAs с раз­личной толщиной слоев, в условиях резонанса при 10 К и параллельными поляризациями падающего и рассеянного света.

Проявление полярных колебаний в спектрах комбинационного рассеяния связано в первую очередь с электрон-фононым взаимодействием, описываемым фрёлиховским потенциалом. Гамильтониан фрёлиховского взаимодействия может быть выражен в виде скалярного электростатического потенциала, умноженного на заряд электрона. Теоретически этот потенциал можно вычислить, используя микроскопические ди­намические модели решетки с подходящими граничными условиями. Однако на практике подобные расчеты занимают очень много времени, а получаемые результаты будут справедливы только для заданных в расчете ширин ямы и барьера. Поэтому желательно найти простые, хотя и приближенные, выражения для скалярного потенциала, которые можно было бы использовать для образцов с различной шириной ям. Было предложено несколько таких моделей. Они называются «макроскопическими», поскольку на начальном этапе в них предполагается, что образец представляет собой континуум. Основное различие между этими моделями заключается в подходе к граничным условиям, которые накладываются на оптические фононы на интерфейсах в квантовых ямах или сверхрешетках. В зависимости от применяемых граничных условий одни из них получили название «механических моделей», а другие — «диэлектрических континуальных моделей».

Грубо говоря, в «механических моделях» выдвигается требование, чтобы смещения квантованных LO фононов обращались в нуль на интерфейсе, даже если это приводит к нарушению на нем уравнений Максвелла. Пример картины квантовой ямы, удовлетворяющей механическим граничным условиям, приведен на рис. 69, где представлена картина смещений u _z и электростатических потенциалов ф LO мод в полярной сверхрешетке для m = 1, 2, 3. Потенциал ф и механические смещения u_z сдвинуты по фазе. Кроме того, величина u _z на интерфейсе равно нулю в соответствии с механическими граничными условиями.

Из рисунка видно, что электростатический потенциал ф не исчезает на интерфейсе. Для фонона, квантованного в среде А и обладающего не равным нулю волновым вектором q_x, можно представить скалярный потенциал как:

ф (х, z)= ф _о ехр (iq_xx)cos(к_mz)для четного т,

ф (х, z)= ф _о ехр (iq_xx)sin(к_mz)для нечетного т.

Компонента электрического поля, параллельная интерфейсу (Е_х), имеет вид

E_x=–dф/dx= – (iq_x) ф (х, z)

и не обращается в нуль на интерфейсе (т.к. потенциал ф на нем не равен нулю), как того требуют условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля на границе двух диэлектрических сред (заметим, что Е_х равно нулю в среде В, если имеет место квантовое ограничение фонона в среде А). Поскольку такие модели не учитывают уравнения Максвелла, из них не вытекает существование интерфейсных мод, если не сделаны дополнительные предположения.

Рис. 69. Схематическая зависимость смещения u _z и электростатического потенциала ф (z) для квантованных мод LO_m.

В «диэлектрических континуальных моделях» в качестве отправной точки исполь­зуются уравнения Максвелла. На их основании получаются интерфейсные моды как часть решений уравнения Лапласа Ñ ²ф (r) = 0. Хотя такие модели и нарушают механические граничные условия (требующие, чтобы атомные смещения квантованных фононов были равны нулю на интерфейсе), однако для интерфейсных мод они являются довольно хорошим приближением к результатам микроскопических вычислений, поскольку в действительности смещения атомов становятся равными нулю только в непосредственной близости от интерфейса.

Макроскопическая модель, в которой предпринята попытка воспроизвести результаты микроскопических вычислений, была предложена Хуаном и Джу. Сделав модельные микроскопические вычисления динамики решетки для определения смещений атомов и электростатического потенциала, они обратили внимание на то, что диэлектрическая континуальная модель дает довольно хорошее приближение к результатам микроскопического расчета, за исключением нарушения механических граничных условий (см. рис. 70). Интерфейсные моды особенно хорошо описывались этой моделью. Для одновременного выполнения механических и максвелловских граничных условий необходимо, чтобы как ф, так и его производная dф/dz обращались в нуль на интерфейсе. Этого можно достичь, вычитая подходящую константу из ф с четной симметрией (по отношению к отражению в плоскости, проходящей через центр слоя) или подходящий член, линейный по z, из ф с нечетной симметрией.

Рис. 70. Сравнение атомных смещений электростатических потенциалов, связанных с самыми низкими квантованными и интерфейсными фононами в GaAs/AlAs, рассчитанных с помощью «макроскопических» моделей: a) диэлектрического континуума; б)механических граничных условий; в) Хуана-Джу; и г) в рамках микроскопической теории.

На рис. 70 потенциалы, связанные с квантованными LO фононами самого низкого порядка и с интерфейсными модами в сверхрешетке GaAs/AlAs, полученные с помощью трех обсуждавшихся выше макроскопических моделей, сравниваются с результатами микроскопической модели. Мы видим, что модель Хуана-Джу является наилучшей аппроксимацией микроскопической модели, за ней следует диэлектрическая континуальная модель. Хотя и существуют различия в вероятностях рассеяния, вычисленных с помощью этих моделей, однако различия между моделью Хуана-Джу и диэлектрической континуальной моделью исчезают в случае ям с малой шириной. Для таких ям основной вклад в вероятность рассеяния вносят интерфейсные моды, а они в этих двух моделях почти идентичны. Полученные в настоящее время экспериментальные резуль­таты лучше всего согласуются с предсказаниями модели Хуана-Джу.

7.10. Модель диэлектрического континуума для предельных фононов с k =0

Строгое решение задачи о распространении механических волн в произвольном направлении в сверхструктуре приводят к появлению весьма специфических мод. Математический аппарат, используемый при рассмотрении этой проблемы, заимствован из задачи о плоском барьере между полубесконечными средами. Колебательные состояния слоев 1 и 2 в этом случае описываются функциями exp(ik ₁ z) и exp(ik ₂ z), и действительное значение волнового вектора соответствует распространению волны, а решение с мнимым вектором k описывает колебательное состояние, амплитуда которого затухает по мере удаления от интерфейса – границы раздела двух сред. Поэтому основные типы мод можно разделить следующим образом.

· распространяющиеся моды – propagation modes (в частности, акустические), которые имеют действительное значение волнового вектора как в среде 1, так и в среде 2;

· локализованные моды – confined modes, в которых в одной среде волновой вектор имеет действительное значение, а в другой среде – мнимое. Такие моды локализованы в отдельных слоях. Поэтому о таких модах разумно говорить как о модах, подобных для того или иного кристалла (like-GaAs или like-AlAs).

· интерфейсные моды – interface modes, для которых решения задачи о распространении колебаний в сверхрешетке дает мнимое значение волнового вектора в обеих средах, так что амплитуда этих колебаний может быть велика на границе раздела двух сред и убывает в той и другой среде при удалении от интерфейса.

Тем не менее, в зависимости от направления распространения волны относительно нормали к плоскости слоев (угол θ) полярные моды сверхрешетки, локализованные в отдельных слоях, т.е. конфайнментные могут превращаться в «интерфейсные», т.е. делокализованные по всей сверхрешетке. Следовательно, при произвольном значении волнового вектора k 0< θ < π /2 оптически активные фононные моды имеют промежуточный характер локализации. Такие мод называют квазиконфайнментными. Они соответствуют решениям задачи о волнах в двух диэлектрических средах с действительным значением волнового вектора в одной среде и мнимым в другой среде и описывают стоячие волны, локализованные в одной среде и частично проникающие во вторую среду с экспоненциальным затуханием амплитуды по мере удаления от границы раздела.

Сравнение с оптическим экспериментом требует, как известно, рассмотрения исключительно центрозонных фононов, что соответствует синфазным колебаниям атомов в каждой элементарной ячейке. Поэтому важным является рассмотрение состояния сверхрешетки с однородной поляризацией в каждом слое. Именно такие состояния соответствуют атомным смещениям вдоль собственных векторов центрозонны х фононов, и именно такие состояния имеет смысл рассматривать, когда речь идет о возбуждениях, проявляющихся в эксперименте (например, в комбинационном рассеянии). Соответствующую задачу можно рассмотреть в приближении диэлектрического континуума. В рамках такого подхода пренебрегают микроскопическими деталями кристаллической структуры и рассматривают вещество, из которого состоят слои сверхрешетки, как однородную упругую среду с заданной диэлектрической проницаемостью. Это модель, где использованы формулы, выведенные много раньше С. М. Рытовым [ЖЭТФ, 29, N5, 605 (1955)] при решении задачи о распространении радиоволн в слоистой среде. Рассмотрим полярные колебания упругого диэлектрического континуума в бесконечной среде, состоящей из плоских слоев толщины d _A и d _B с диэлектрической проницаемостью ε _A и ε _B периодически повторяющихся в направлении z, перпендикулярном границам раздела, в которых введены координаты x, y. Ясно, что даже для кубических полупроводниковых структур (цинковая обманка) в гетероструктуре (или сверхрешетке) появляется анизотропия, вызывающая появление двух значений диэлектрической постоянной сложной структуры ε _{x, y} и ε _z. Выражения для эффективной диэлектрической постоянной в плоскости решетки ε _{x, y} и в направлении перпендикулярно к ней ε _z можно получить, решая совместно уравнения движения и уравнения Максвелла, и усредняя полученные зависимости по объему. В результате получится:

,

,

где d = d ₁+ d ₂.

Полученный результат можно пояснить следующим образом. Электрическое поле в слоях описывается векторами E _A и E _B и векторами индукции D _A= ε _A E _A и D _B= ε _B E _B. В случае поля, направленного параллельно оси x, из уравнения rot E =0 следует напряженности поля на границах раздела:

.

И, следовательно, среднее значение индукции будет определяться выражением:

,

из которого непосредственно следует выражение для диэлектрической прорницаемости ε _xy.

В случае поля, направленного параллельно оси z, из уравнения div D =0 следует непрерывность индукции на границах раздела

.

И, следовательно, среднее значение напряженности будет определяться выражением:

,

из которого непосредственно следует выражение для диэлектрической проницаемости ε _z.

Эти выражения для диэлектрической проницаемости соответствует случаю длинноволновых колебаний с поляризацией, перпендикулярно оси z, т.е. колебаниям типа E, и случаю длинноволновых колебаний с поляризацией, параллельной оси z, т.е. колебаниям типа А. Решение уравнения ε (ω)=0 соответствует LO модам, а частоты, при которых ε _z  (ω) обращается в бесконечность, соответствуют TO модам.

Из формулы для ε _xy непосредственно следует вывод:

ε _z  (ω) → ε _A(ω)=0 или ε _B(ω)=0.

Это означает, что частоты колебаний A(LО) в СР совпадают с частотами колебаний A(LО), локализованных в слое A или B. Иными словами, спектр колебаний A (LO) в сверхрешетке состоит из двух мод, частоты которых совпадают с частотами A (LО) мод в объемной структуре.

С другой стороны, из формулы для ε _z следует, что полюса e_{x, y}(w) находятся на частотах, соответствующих полюсам диэлектрической проницаемости каждого из слоев, т.е. e_{x, y} (w)=¥, когда либо e ₁(w)=¥, либо e ₂(w)=¥.

Ε _xy  (ω) → ε _A(ω)=∞ или ε _B(ω)=∞.

Это означает, что частота колебаний E (TO) в сверхрешетке совпадает с частотами таких колебаний, локализованных в каждом из слоев. Иными словами, в сверхрешетке спектр колебаний Е (ТО) состоит из двух мод, частоты которых совпадают с частотами колебаний Е (ТО) в объемном материале.

Таким образом, из уравнений для средних значений диэлектрической проницаемости ε _xy (ω) и ε _z  (ω), описывающих волны поляризации в слоистой среде, следует важный вывод: в сверхрешетках существуют длинноволновые оптически активные колебания, частоты которых совпадают с частотами A (LO) и Е (ТО) чистых кристаллов. Собственные векторы этих колебаний включают атомные смещения, локализованные в соответствующих слоях. Иными словами, в сверхрешетках моды A (LO) и Е (ТО) локализованы в отдельных слоях (confined modes) и не зависят от конкретной структуры сверхрешетки (относительной толщины слоев, например).

Иной характер имеют решения уравнений ε _xy (ω)=0 и ε _z  (ω)=∞ которые соответствуют модам А (ТО) и Е (LO). Для колебаний Е (LO) из соотношения для ε _xy (ω) непосредственно следует:

,

а для колебаний A (TO) из выражения для ε _z (ω) непосредственно следует:

.

Зависимость ε _z (ω) для каждой ОС описывается зависимостью:

,

причем, компоненты ε _xy (ω) определяются вкладом Е -мод, а ε _z  (ω) определяются вкладом A -мод. Пользуясь этими соотношениями и решая эти уравнения относительно ε  (ω), можно вывести выражение для частот A (TO) и E (LO) в сверхрешетке через параметры спектра объемных структур и значения толщины слоев. Вместо вывода этих громоздких выражений, рассмотрим качественно характер зависимости этих решений от отношения d _A/ d _B. Прежде всего заметим, что отношение ε _A (ω)/ ε _B (ω) (см. рис. 63) принимает отрицательные значения в интервалах ТО1< ω < ТО2 и LO1< ω < LO2. Поскольку в каждом из этих интервалов отношение ε _A (ω)/ ε _B (ω) монотонно изменяется от нуля до бесконечности, то нетрудно понять, что при любом значении d _A/ d _B каждое из уравнений определяющих отношения ε ₁(ω)/ ε ₂(ω) имеет по одному решению в этих интервалах. В каждой паре таких решений есть «нормальные» компоненты и «аномальные». Поэтому положение интерфейсных мод должно зависеть от отношения периодов слоев А и В. Это хорошо видно из рис. 71.

По виду кривой, представленной на рис. 71 можно качественно определить характер зависимости частот нормальных и аномальных мод от соотношения толщины слоев в сверхрешетке. Рассмотрим, к примеру, моды A(TO), частоты которых определяются уравнением ε _xy (ω)= d^–1 (d₁ε ₁+d₂ε ₂). Нормальное решение этого уравнения из интервала (TO1, TO2) при d ₁®0 стремится к TO2, а при d ₂®0 к TO1, т. е. частота этой моды изменяется пропорционально составу сверхрешеки. Аномальное же решение этого уравнения из интервала (LO1, LO2) при d ₁®0 стремится к LO1, а при d ₂®0 к LO2, т. е. частота этой моды изменяется обратно пропорционально составу СР. Аналогичные заключения можно вывести и относительно решений E(LO)-I и E(LO)-II.

В то же время для сверхрешеток, построенных из материалов с неперекрывающимися областями TO-LO расщеплений, аналогичное рассмотрение дает частоты мод либо A-like, либо B-like (рис. 72).

Используя выражения для ε _xy (ω) и ε _z (ω) и дисперсионной зависимости ε (ω), можно определить положение нулей и полюсов функции ε (ω)при произвольном направлении волнового вектора и, таким образом, исследовать угловую дисперсию нормальных колебаний сверхрешетке.

Рис. 71. Частотная зависимость отношения диэлектрических проницаемостей кристаллов GaN и AlN, из которой можно получить частоты интерфейсных мод сверхрешетки GaN/AlN.

Рис. 72. Частотная зависимость отношения диэлектрических проницаемостей кристаллов GaAs и AlAs, из которой можно получить частоты интерфейсных мод сверхрешетки GaAs/AlAs.

Рис. 73 а. Рассчитанные КР-спектры СР (AlN)_n/(GaN)_m, симметрии E(TO) (а) и A(LO) (б) при разных значениях отношениях n/m, указанных на рисунках.

Рис. 73 б. Рассчитанные КР-спектры СР (AlN)_n/(GaN)_m, симметрии E(LO) (а) и A(TO) (б) при разных значениях отношения n/m, указанных на рисунках.

Рис. 73 с. Амплитуды смещений атомов в модах A(LO) (а) и E(LO) (б)при различных соотношениях m/n толщины слоев структур GaN и AlN, указанных на рисунке. Значения рассчитанных частот указаны мелкими цифрами.

Рис. 73 d. Амплитуды смещений атомов в модах A(LO) (а) и E(LO) (б) при различных соотношениях m/n толщины слоев структур GaN и AlN, указанных на рисунке. Значения рассчитанных частот указаны мелкими цифрами.