Двоичная система счисления.

Количество цифр, используемых для изображения числа в любой позиционной системе счисления, равно основанию этой системы. В 2 c/c ( = 2) для этой цели применяются цифры 0 и 1.

Рассмотрим произвольное двоичное число

11010, 101 = 1× + 1× + 0× + 1× + 0× + 1× + 0× + 1× =

= 16 + 8 + 2 + + = 26 = 26, 625 (10 c/c).

Представленная здесь схема разложения двоичного числа является одновременно схемой перевода из 2 с/с в 10 c/c (2 ® 10).

Рассмотрим теперь перевод 10 ® 2. Такой перевод производится отдельно для целой и дробной частей числа.

Пример 1. 43, 37 = 101011, 01

43 | 2

42 21 | 2

1 20 10 | 2

1 10 5 | 2

0 4 2 | 2

1 2 1 | 2

0 0 0

Перевод целой части десятичного числа в двоичную систему счисления осуществляется последовательным делением сначала числа, а затем частного на основание системы счисления 2. Деление выполняется до тех пор, пока не будет получено частное, равное 0. После этого цифры остатков записываются в обратном порядке. В данном случае получим 101011.

В самом деле, мы 6 раз разделили исходное число на 2. Следовательно, в нем 1 раз содержится . Кроме этого, полученные остатки указывают, что в числе содержатся дополнительно 0 раз , 1 раз , 0 раз , 1 раз и 1 раз .

Тогда можно записать:

43 = 1× + 0× + 1× + 0× + 1× + 1× ,

т.е. мы получили разложение числа по степеням основания 2.

Для перевода дробной части рассмотрим вначале произвольную десятичную дробь. Будем последовательно умножать на 10 исходное число и дробные части получаемых в процессе преобразования чисел до тех пор, пока дробная часть очередного числа не станет равной нулю.

0, | 935 × 10

9, | 35 × 10

3, | 5 × 10

5, | 0

Эта схема показывает, что в исходном числе содержится 9× (после первого умножения) + 3× (после второго умножения) + 5× (после третьего умножения).

Если вместо умножения на 10 мы будем умножать на число q, то получим перевод дробной части числа в систему счисления с основанием q. Для исходного числа, приведенного в примере 1, получим цифры в двоичной системе счисления:

0, ½ 375 × 2

0, ½ 75 × 2

1, ½ 5 × 2

1, ½ 0

Следовательно, 0, 37 = 0, 01 .

Конечная десятичная дробь не всегда образует конечную двоичную дробь. Например, для числа 0, 4 имеем:

0, ½ 4 × 2

0, ½ 8 × 2

1, ½ 6 × 2

1, ½ 2 × 2

0, ½ 4 × 2

0, ½ 8 × 2

1, ½ 6 × 2

...............

0, = 0, 011001100110 = 0, (0110 .

Естественно, в этом случае полученное двоичное число округляют.

При невозможности получения конечной двоичной дроби задается погрешность преобразования десятичной дроби или количество двоичных разрядов после запятой.

Если взять метровую линейку с сантиметровыми делениями и измерить длину какого-либо объекта, например стола, можно определить сколько раз линейка полностью укладывается в заданную длину (целая часть числа), и сколько сантиметровых делений будет в остатке (дробная часть числа). Заданная длина может не укладываться в целое число сантиметровых делений. Так как более мелких делений на линейке нет, то измерить длину стола возможно только с точностью до целого количества сантиметров. Оставшаяся часть длины и составляет погрешность измерения, которая в данном случае не превышает 1 сантиметр или 0, 01 метра.

При заданной погрешности 0, 01 возникает необходимость записать значения сантиметров от 00 до 99, т.е. 100 различных значений. Очевидно, что для десятичной системы счисления, для представления чисел с заданной погрешностью достаточно 2-х разрядов в дробной части (после запятой необходимо иметь возможность записать числа от 00 до 99). В общем виде можно записать неравенство:

qⁿ ≥ 1 / t,

где q – основание системы счисления,

n – количество разрядов в дробной части числа,

t – заданная погрешность.

Для приведенного примера 10ⁿ ≥ 1 / 0, 01, или 10ⁿ ≥ 100. Из этого неравенства определяется n = 2.

Если представлять число в двоичной системе счисления с такой же погрешностью, то имеем 2ⁿ ≥ 1 / 0, 01, или 2ⁿ ≥ 100. Определяется n = 7, так как 2⁷ =128 – ближайшее число, при котором выполняется неравенство. Таким же образом определяется количество разрядов в дробной части для любой системы счисления.