Примеры решения задач. Задача 1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете

Задача 1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А₁- первый взятый учебник в переплете;

A₂- второй взятый учебник в переплете.

Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:

.

Вероятность наступления события А₁ p(A₁) в соответствии с классическим определением вероятности:

P(A₁)= =0, 5.

Вероятность наступления события А₂ определяется условной вероятностью наступления события А₂ при условии наступления события А₁, т.е. (A₂)= =0, 4.

Тогда искомая вероятность наступления события:

P(A)=0, 5 0, 4=0, 2.

Задача 2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка-0, 9; второго стрелка-0, 8. Найти вероятность того, что:

а) в мишень попадет только один стрелок;

б) мишень будет поражена.

Решение: а) Пусть событие А - в мишень попадет только один стрелок. Введем события: - в мишень попадет первый стрелок; - в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию: ; .

Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда . События и несовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. События и независимы, значит, наступление не изменяет вероятности . Из этого следует, что и ненаступление (то есть наступление ) не меняет вероятности . Значит, независимы и , и , и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что , имеем:

=

=0, 9(1-0, 8)+(1-0, 9)0, 8=0, 9 0, 2+0, 1 0, 8=0, 18+0, 08=0, 26.

б) Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит . Рассуждая аналогично пункту а), имеем:

Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий и . Согласно определению суммы событий .

=

=0, 9+0, 8-0, 9 0, 8=1, 7-0, 72=0, 98.

Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие - ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем:

Задача 3. Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.

Решение: Введем обозначения для рассматриваемых событий.

Пусть А - извлечен белый шар. - выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна. - выбрана третья урна.

- вероятность извлечения белого шара из первой урны.

- вероятность извлечения белого шара из второй урны.

- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Определим вероятности, соответствующие этим событиям. Так как все урны одинаковы, то

.

, , .

Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:

.

Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.

.

Варианты задачи 2

1. В ящик, содержащий три одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

2. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар. После чего из нее наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что извлеченным окажется белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

3. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная, во втором - 10 ламп, из них тоже одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

4. В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0, 6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

5. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили в урну с 4 белыми и 4 черными шарами 2 шара. После чего из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым.

6. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0, 95. Для полуавтомата эта вероятность равна 0, 8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

7. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0, 3; второй - 0, 4; третий - 0, 7; четвертый - 0, 4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.

8. В мешке смешаны нити, среди которые 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность ого, что вынутые наудачу две нити будут:

а) одного цвета;

б) разных цветов.

9. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0, 95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0, 8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

10. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0, 05. Для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0, 1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.

11. Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0, 95; второй - 0, 9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал:

а) хотя бы от одного сигнализатора;

б) только от одного сигнализатора.

12. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0, 2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.

13. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0, 7; болезни L - 0, 8; болезни М - 0, 9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

14. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

15. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом - 0, 95; без оптического прицела - 0, 8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

16. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартна.

17. Заводом послана машина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия материала на первой базе - 0, 9; на второй - 0, 95; на третьей и четвертой - 0, 6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

18. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0, 1% бракованных, второго - 0, 2%; третьего - 0, 25%, четвертого - 0, 5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

19. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0, 8, а завода №2 - 0, 9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

20. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0, 4, а трое с вероятностью 0, 5. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее, принадлежал ли он к двум первым или трем последним стрелкам.

ЗАДАЧА 3