Пример 4. Небольшая фабрика выпускает два типа красок для внутренних (I) и наружных (Е) работ

Небольшая фабрика выпускает два типа красок для внутренних (I) и наружных (Е) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 тонну соответствующих красок приведены в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более, чем на 1т.

Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 руб. для краски Е и 2000 руб. для краски I.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель. Начнем с ответа на 3 вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель (каковы переменные модели)?

2. В чем состоит цель оптимизации модели?

3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?

В нашем случае необходимо спланировать объем производства красок, поэтому переменными являются X_I - суточный объем производства краски I и Х_Е - суточный объем производства краски Е.

Суммарная суточная прибыль от производства красок равна Z = 3000 Х_Е +2000 X_I. Целью оптимизации модели фабрики является определение таких величин суточного производства каждой краски, которые максимизируют суммарную прибыль, то есть целевую функцию Z.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на Х_Е и X_I.

Объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно Х_Е, X_I ³ 0.

Расход исходного продукта не может превосходить его максимально возможный запас, следовательно

Кроме того, ограничения на величину спроса на краски таковы:

Таким образом, составлена математическая модель, состоящая из целевой функции, которую надо максимизировать и ограничений.

Если бы условия задачи исходили из стоимости исходного продукта для производства красок, то целевую функцию надо было бы минимизировать.

Данная модель является линейной, так как все уравнения этой модели линейные.

Эта задача решается с помощью команды Сервис Þ Поиск решения. Если в меню Сервис команда Поиск решения отсутствует, для ее установки необходимо выполнить команду Сервис Þ Надстройки Þ Поиск решения.

1. Для упрощения работы при поиске решения сначала все исходные данные, целевую функцию и ограничения оформим в табличном виде.

2. В ячейки " Значение" (переменные Х_I и Х_Е) введем пока нули. Это результаты поиска решения, на начальном этапе они могут быть пустыми, но их адреса должны входить в формулу целевой функции и ограничений, если это необходимо.

3. Целевую функцию запишем в ячейке F9 в виде формулы.

4. Ограничения можно записать в табличном виде, где есть левая и правая части ограничения и знак между ними. Потом эти части легко вставляются в диалоговое окно " Поиск решения".

5. Подготовив все данные, выполним команду Сервис Þ Поиск решения. Появляется диалоговое окно " Поиск решения".

· В строку " Установить целевую ячейку" установим ячейку F9.

· Переключатель " Равной" установим в положение - " Максимальному значению".

· В строку " Изменяя ячейки" укажем ячейки, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, то есть ячейки, отведенные под переменные задачи (Х_I и Х_Е) В данном случае это ячейки В4 и С4.

· Ограничения вводятся в соответствующее поле в виде равенств, неравенств, также можно ввести требование целочисленности значения. Ограничения добавляются по одному. Для начала ввода ограничений необходимо щелкнуть по кнопке " Добавить". Появится диалоговое окно " Добавление ограничения", состоящее из трех частей

· " Ссылка на ячейку" - введем адрес ячейки A9, где записаны условия левой части ограничения. В поле " Ограничение" введите адрес ячейки С9, правая часть ограничения. Для установки знака ограничения щелкните по кнопке списка и выберите знак > =.

· Далее нажать кнопку " Добавить" и аналогичным способом ввести следующее ограничение. После ввода всех ограничений нажать кнопку " ОК".

6. Нажмем кнопку " Параметры" в диалоговом окне " Поиск решения" и ознакомимся с ним.

В диалоговом окне " Параметры поиска решения" можно изменять условия и варианты поиска решения исследуемой задачи, а также загружать и сохранять оптимизируемые модели. Большинство задач решаются при установке параметров по умолчанию.

Поле Максимальное время ограничивает время решения задачи.

Поле Предельное число итераций ограничивает число промежуточных вычислений.

Поле Относительная погрешность и Допустимое отклонение задают точность решения задачи. Рекомендуется (особенно для задач с требованием целочисленности переменных) повторить вычисления с большей точностью и сравнить результаты.

Флажок Линейная модель служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи. При несоответствии положения флажка решаемой задаче можно получить неверный результат.

Флажок Показывать результаты итераций приостанавливает поиск решения и позволяет просмотреть результаты отдельных итераций.

Флажок Автоматическое масштабирование автоматически нормализует входные и выходные значения, качественно различающиеся по величине, например, при максимизации прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Группа Оценка - выбор метода экстраполяции.

Группа Производные - выбор метода численного дифференцирования.

Группа Метод - выбор алгоритма оптимизации.

7. Закроем окно «Параметры поиска решения», нажав кнопку «ОК».

8. Нажмем кнопку «Выполнить». В появившемся диалоговом окне «Результаты поиска решения» можно выбрать требуемый тип отчета Результаты, Устойчивость, Пределы, чтобы вывести отчет о результатах решения задачи.

9. Ничего, не выбирая, нажмем кнопку «ОК». Решение найдено. Все ограничения и условия выполнены. X_I = 3.333 и X_E = 1.333

Очень важно при составлении математической модели вообще и решения задачи с помощью средства Поиск решения в частности все параметры, на которые вводятся ограничения, должны входить в целевую функцию.

При решении задач эффективного распределения занятости рабочих, в таблице занятости распределенность принимается в виде двоичных чисел, т.е. если работника распределяют на данный вид работы, то присваивают «1», иначе – «0». В этом случае сумма каждой строки и столбца должна быть равна «1».

Если таблица не сбалансирована, т.е. количество работников меньше чем количество видов работ, то добавляют необходимое количество фиктивных работников.