Рівняння теплового стану неізольованого проводу

За проміжок часу dt перевищення температури проводу над температурою оточуючого середовища отримає нескінченно малий приріст .

Диференційне рівняння теплового балансу проводу має вигляд

, ()

де А – площа бокової поверхні проводу (поверхня охолодження, см² );

– перевищення температури проводу над температурою

оточуючого середовища, º С;

G – маса проводу, кг;

С ₀ – питома теплоємність матеріалу проводу, Дж/(г·°С).

При досягненні теплової рівноваги перевищення температури не зміниться

,

звідки

. ()

Поділивши обидві частини (1) на , отримаємо

. ()

Величину

()

називають сталою (постійною) нагріву.

Підставивши в формулу (3) вирази (2) та (4), запишемо рівняння

. ()

Розділивши змінні, отримаємо

.

При інтегруванні отримаємо

,

де С – стала інтегрування, що визначається з початкових умов. Якщо t =0, то

(початкове перевищення температури ).

Тоді

,

а отже, ,

звідси слідує, що .

Розв’язуючи це рівняння відносно , отримаємо рівняння теплового стану проводу

()

Рисунок 6.1. Криві нагрівання проводу

Рівнянню () відповідає графік 3, наведений на рис. 6.1, а. Криві 1, 2 відповідають складовим рівняння ().

В багатьох випадках процес починається з , і . Тоді рівняння () спрощується

. ()

Задаючись значеннями , рівними T, 2 T, 3 T, 4 T, отримаємо графік, зображений на рис.6.1, б.

Для проводів середньої площі перерізу (25...50 мм²) можна прийняти Т 10 хв, тобто нагрів до усталеної температури відбувається протягом 30 хв.

Якщо взяти першу похідну від виразу (7) при t =0, то отримаємо

. ()

Пряма на рис.6.1, б характеризує адіабатичний процес (без відводу тепла). Для двигунів же хв, тобто нагрів до установленої температури відбувається приблизно за 6 год.