Фізичний зміст логічних функцій І, АБО, НІ та їх схемотехнічне зображення

Розглядається простий бінарний елемент – вимикач, що має два стани. Якщо даний вимикач контролюється вхідною змінною , то він виключений (розімкнутий) при та включений (замкнений) при , як показано на рис.11.1:

Рисунок 11.1 – Два стани вимикача

Можна використовувати наступне графічне позначення для зображення таких вимикачів (рис. 11.2):

Рисунок 11.2 – Графічне зображення вимикача

Можливі варіанти з'єднання лампи із джерелом живлення, наведені такими схемами (рис. 11.3):

Батарея Лампа

а

Джерело живлення Лампа

б

Рисунок 11.3 – Лампа, керована вимикачем: а – просте з'єднання з батареєю;

б – використання заземлення

Використовуючи умовне позначення , можна описувати стан лампи як функції вхідної змінної .

Якщо лампа горить, то . Якщо лампа не світиться, то .

Оскільки при , і при , то можна стверджувати, що – логічна функція, де – логічна змінна. Це простий логічний вираз описує вихід як функцію від входу.

Розглянемо тепер можливість використання двох вимикачів для керування станом лампи, що схемотехнічно відповідає логічним функціям від двох змінних.

Нехай і – керуючі змінні (входи) для цих вимикачів.

Вимикачі можуть бути з’єднані послідовно або паралельно, як показано на рис. 11.4.

а

б

Рисунок 11.4 – Дві основні функції: а – послідовне з’єднання (функція логічного множення AND); б – паралельне з’єднання (функція логічного додавання OR)

Послідовне з’єднання вимикачів. При послідовному з’єднанні лампа світитиметься тільки тоді, якщо обидва вимикачі включені (одночасно). Ця поведінка може бути описана логічним виразом:

,

де при , при або , або .

Символ кон’юнкції називається при цьому AND- оператором.

Говорять, що схема на рис. 11.4, а реалізує логічну AND- функцію (логічне множення).

Паралельне з’єднання вимикачів. При паралельному з'єднанні двох вимикачів лампа горітиме, якщо вимикачі або включені. Лампа також горітиме, якщо обидва вимикачі включені одночасно. Лампа не горітиме в єдиному випадку, якщо обидва вимикачі розімкнуті.

Ця ситуація може бути описана як функція логічного додавання , де при або , а також ; при .

Символ диз’юнкції називається OR-оператором.

Схема на рис. 11.4, б реалізує логічну OR- функцію (логічне додавання).

У наведених вище виразах AND- і OR-оператори реалізують результат (вихід) − логічну функцію із двома вхідними змінними.

AND і OR є двома найбільш важливими логічними функціями. Разом з деякими іншими простими функціями вони можуть бути використані як складові частини (будівельні блоки) для реалізації логічних схем.

Наприклад, на рис. 11.5 показано, як три вимикачі можуть бути використані для керування лампою. Таке послідовно-паралельне з’єднання вимикачів реалізує логічну функцію .

Рисунок 11.5 – Послідовно-паралельне з’єднання вимикачів

У цьому випадку лампа горить, якщо й одночасно або .

Інвертор. Для унарної операції інверсія, якій відповідає функція з однойменною назвою, схемотехнічне зображення описується схемою, як показано на рис. 11.6:

Рисунок 11.6 – Схема, що інвертує

У цьому випадку вимикач з’єднується в паралель із лампою. Лампа горітиме, коли вимикач розімкнутий.

Формально така функціональна поведінка виражається як , де при , і при .

Значення цієї функції є зворотним до значення вхідної змінної.

Поряд з використанням терміна інверсія можна застосовувати узагальнений термін доповнення (як у теорії множин). Таким чином, є доповнення . У термінах операторів це є NOT- Оператор.

Таблиця аналітичного й схемотехнічного зображення булевих функцій від двох змінних

Фізичній схемі послідовного з’єднання (див. рис. 11.4, а) відповідає логічний примітив (блок) – двовхідний кон’юнктор, а схемі паралельного з’єднання (див. рис. 11.4, б) – диз’юнктор, схемі з інверсією (див. рис. 11.6) – інвертор. Елементи логічних схем і відповідні їм функції описані в таблиці 11.1.

Таблиця 11.1. Елементи логічних схем

НАЗВА	ПОЗНАЧЕННЯ	СХЕМА
Константа нуль
Кон’юнкція
Ліва зворотна імплікація (коімплікація)
Повторювач по
Права зворотна імплікація
Повторювач по
Сума за mod 2 (нерівнозначність, нееквівалентність)
Диз'юнкція
Функція Вебба
Функція рівнозначності (еквівалентності)
Заперечення по
Права імплікація (якщо , те )
Заперечення по
Ліва імплікація (якщо , те )
Функція Шеффера
Константа одиниця

Значення перерахованих булевих функцій від двох змінних наведені в таблиці 11.2.

Таблиця 11.2 – Значення булевих функцій від двох змінних з таблиці 11.1

а

б

в

Рисунок 11.7 – IEEE-Стандарти логічних блоків: дво- і n-входовий кон’юнктор (а); дво- і n-входовий диз’юнктор (б), інвертор (в)