Декартово произведение множеств

Пусть X₁, Х₂,..., Х_n — множества.

Прямым (декартовым) произведением множеств X_i, i = 1, 2,..., n:

X₁ × Х₂... × Х_n

называется множество всех упорядоченных наборов (x₁, x₂,..., x_n), где x_iϵ X_i, i = 1, 2,..., n.

Из определения декартова произведения следует, что A× B = Ø, если A= Ø или B = Ø:

A× B = Ø A= Ø B = Ø.

По аналогии можно утверждать, что прямое произведение нескольких множеств равно пустому множеству тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих множеств пусто.

Пример 1. Пусть X = R, Y = R — множества точек двух числовых осей. Тогда декартовым произведением X × Y = R² является множество точек плоскости (см.рис.). Каждой точке плоскости соответствует пара точек (проекций) на числовых осях.

Пример 2. Пусть заданы множества А={1, 2}, В={3, 4, 5}, тогда A× B={< 1, 3>, < 1, 4>, < 1, 5>, < 2, 3>, < 2, 4>, < 2, 5> }

Декартово произведение двух множеств обладает следующими свойствами:

· A× B ≠ B× A –некоммутативность

· A× (B× С) = (A× B) × C = A× B× C – ассоциативность

· A× (B C) = (A× B) (A× C) – дистрибутивность по объединению

· A× (B C) = (A× B) (A× C) – дистрибутивность по пересечению

· A× (B\C) = (A× B)\(B× C) – дистрибутивность по разности

· (A × B) (C × D)=(A C)× (B D)