Свойства отношений

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: если a Aa φ a;

2. Антирефлексивность: если a Aa’ φ a;

3. Симметричность: если a, b Aa φ b→ b φ a;

4. Антисимметричность: если a, b Aa φ b& bva→ a=b;

5. Транзитивность: если a, b, c Aa φ b& b φ c→ a φ c;

6. Полнота, или линейность: если a, b Aa≠ ba φ b или b φ a.

Отношение φ =< Ф, М> называется пустым, если график Ф является пустым множеством. Т.е. φ =< Ø, М>. Другими словами имеется область задания отношения, на котором не задан график отношения.

Отношение φ =< Ф, М> называется отношением равенства, если Ф=Δ М. В теоретико-множественном плане можно записать, ( a, b М)(aφ b→ a=b). Например задано φ =< Ф, М>, М={1, 2, 3}, Ф={< 1, 1>, < 2, 2>, < 3, 3> }. Данное отношение является отношением равенства.

Отношение φ =< Ф, М> называется отношением неравенства, если Ф=М²\Δ М, т.е. ( a, b М) (aφ b→ a≠ b). Например задано φ =< Ф, М>, М={1, 2, 3}, Ф={< 1, 2>, < 2, 3>, < 3, 1> }. Данное отношение является отношением неравенства. Отношения «5 > 3» и «3 < 10»также являются примерами отношения неравенства.

Отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и линейно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если оно — линейное отношение строгого порядка.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности, порождённым элементом х, называется множество всех элементов из A, вступающих с х в отношение эквивалентности.

Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности φ называется множество всех различных классов эквивалентности, которое обозначается A/φ.

Мощность фактор-множества A/φ называется индексом разбиения, порождённого отношением φ.