Типовые примеры. 1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

.

► Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квадратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

.

Сделаем в этом выражении замену и подставим его в квадратичную форму. Получим:

.

Далее выделим в члены, содержащие и проделаем с ними аналогичную процедуру:

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

канонический вид квадратичной формы есть

.

Соответствующее преобразование от переменных к переменным имеет вид:

.◄

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

.

► В исходном базисе матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

.

Эта матрица будет определять квадратичную форму канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид

.

Откуда следует

и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

.

Для случая имеем:

.

Ранг матрицы этой системы уравнений (относительно ) равен 1. Следовательно, ФСР системы состоит из двух линейно независимых решений.

Как видно из данной системы, величина принимает произвольные значения, а величины связаны соотношением . В качестве собственных можно выбрать, например, векторы

Эти векторы ортогональны: (если бы они оказались не ортогональными, то их нужно было бы ортогонализировать с помощью стандартной процедуры). Вектор к тому же и нормирован. Откуда следует - . Нормируем теперь вектор :

.

Для случая уравнение, определяющее собственный вектор есть

.

Ранг матрицы этой системы уравнений равен 2. Следовательно она имеет одно линейно независимое решение, например, Отнормируем этот вектор: .

Теперь можно составить искомую матрицу ортогонального преобразования:

.

Исходная квадратичная форма будет иметь следующий канонический вид

.

При этом переменные связаны с переменными соотношением

или

.◄

3. Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.

.

► Построим матрицу этой квадратичной формы:

Найдём собственные числа и векторы: . Простому корню 0 соответствует собственный вектор , кратному корню 3 соответствуют два собственных вектора: , . Запишем матрицу перехода, предварительно поделив каждый вектор на его модуль.

,

а квадратичная форма имеет вид: .◄

4. (с дробными коэффициентами квадратичной формы). Привести к главным осям квадратичную форму третьего порядка.

.

► Сначала построим матрицу квадратичной формы.

Найдём 3 собственных числа. λ = 1, -1, -2. Затем для каждого собственного числа найдём собственный вектор и нормируем его.

λ =1 x=

λ =-1 x= .

λ =-2 x=

Квадратичная форма в новом базисе: = .◄

5. Построить в прямоугольной системе координат фигуру, определяемую следующим уравнением, предварительно приведя его к каноническому виду

.

► Выделим в этом выражении квадратичную форму . Это три первых слагаемых уравнения .

Матрица квадратичной формы равна . Проведём процедуру приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Характеристическое уравнение матрицы имеет вид

.

Его корни таковы: . Найдём теперь собственные векторы, соответствующие этим корням и ортонормируем их. Для вектора , соответствующего , имеем

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

.

Аналогичная процедура для собственного вектора даёт:

Откуда:

.

После нормировки полученных векторов имеем:

.

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду , есть

Связь старых и новых координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду

. Это есть каноническое уравнение эллипса в системе координат , которая получается из исходной её поворотом на угол и переносом начала координат в точку .◄