Собственные векторы и собственные значения матриц.

1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Замечание. Если рассматривать нулевой вектор, то он был бы собственным для любого числа , потому что .

Пусть - матрица линейного оператора и . Число называется собственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор , такой что выполнено равенство

Вектор , удовлетворяющий данному соотношению называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение. Действительно, если – два собственных значения вектора , то и , откуда или , значит , что противоречит определению. Значит .

2. Если собственный вектор матрицы , удовлетворяющий собственному значению , и – произвольное действительное число, то - так же собственный вектор с собственным значением . Действительно, умножим обе части равенства на , получим или , следовательно, ненулевой вектор , удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

3. Если и линейно независимые собственные векторы матрицы с одним и тем же собственным значением , то + – собственный вектор с собственным значением . Действительно, в силу линейной независимости и , причём , что согласно определению и означает, что вектор – собственный, отвечающий собственному значению .

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми. Докажем свойство для . Пусть и , . Предположим, что и - линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинация причём хотя бы один из коэффициентов и ненулевой. Пусть , тогда где . Значит, согласно свойству 2 вектор является собственным вектором матрицы , отвечающим собственному значению . Из единственности собственного значения для вектора следует, что . Значит, векторы и линейно независимы.

Преобразуем равенство

получим

В развёрнутом виде данное равенство есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

Левая часть есть многочлен степени по . Он называется характеристическим многочленом матрицы . Данное уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицы с учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называется спектром матрицы .

Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов.

1)Найти корни характеристического уравнения .

2) Для каждого найденного характеристического корня решить однородную систему и найти её фундаментальную систему решений (это и будут собственные векторы, соответствующие данному числу ).

Пример. (Все характеристические корни действительны и различны.)

Найти все собственные числа и собственные векторы для линейного оператора с матрицей А:

.

Найдём характеристическое уравнение.

= . . Находим 3 характеристических корня: 1, 2 и 3. Далее, решаем однородную систему уравнений для каждого из трёх собственных чисел.

1) .

(ранг системы равен 2, рассматриваем 1-е и 3-е уравнения). Первый и второй столбцы не образуют базисный минор, поэтому не может быть свободной переменной. Пусть свободной переменной будет , и далее, решая систему, получаем фундаментальную систему решений: вектор .

Проверка: умножаем матрицу оператора на этот вектор и видим, что он действительно является собственным и соответствует :

.

2) .

Здесь фундаментальная система решений – вектор .

Проверка:

3) .

здесь фундаментальной системой решений будет .

Проверка: .

Пример. (Все характеристические корни действительны, но среди них есть кратные. Количество линейно-независимых собственных векторов для кратного корня совпадает с его кратностью.) Найти собственные числа и собственные векторы для линейного оператора, заданного матрицей:

; .

Число 1 является корнем данного многочлена, затем делим на и находим ещё два корня. Итак, собственными числами будут 1, 1 и 3. Корень 1 имеет кратность 2. При его подстановке вместо , получим матрицу ранга 1, то есть все 3 строки оказываются линейно зависимыми. Тогда фундаментальная система решений состоит из двух векторов.

1) .

, свободные переменные , фундаментальная система решений:

,

1) .

,

фундаментальная система решений:

.

Проверку можно провести аналогично предыдущему примеру.

Количество линейно-независимых собственных векторов, соответствующих характеристическому корню , определяется количеством свободных неизвестных в системе однородных уравнений и может быть меньше, чем кратность характеристического корня. Так происходит, если для корня кратности ранг матрицы понижается на число, меньшее, чем , при подстановке данного . Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эту ситуацию.

Пример. (Количество собственных векторов не совпадает с кратностью корня.)

; = = 0, характеристический корень равен 1, его кратность равна двум. Однако для этого линейного оператора не существует линейно-независимой системы из двух собственных векторов на плоскости. Решаем однородную систему, получающуюся при подстановке значения =1.

Второе уравнение будет тождеством 0 = 0, первое уравнение: , при этом x – свободная неизвестная, отсюда следует, что собственным вектором будет вектор (1, 0). Базисный минор в этом примере - первого порядка, то есть, несмотря на то что корень кратности 2, ранг матрицы при подстановке характеристического корня понижается на единицу. Поэтому в системе одна свободная переменная, и один собственный вектор.

Ядром линейного оператора называется совокупность всех векторов пространства, для которых . Легко доказывается, что все такие векторы образуют подпространство: , то есть линейная комбинация векторов принадлежащих ядру оператора, тоже принадлежит ядру. Очевидно, векторы ядра соответствуют .

Докажем, что если существует хотя бы один ненулевой вектор, отображаемый линейным оператором в 0, то этот оператор не будет обратимым.

Пусть , то есть вектор принадлежит ядру оператора. Тогда для матрицы этого оператора верно , то есть однородная система

имеет нетривиальное решение. Отсюда следует, что матрица А (а это одновременно и основная матрица данной системы уравнений, и матрица линейного оператора) является вырожденной, то есть не существует обратной матрицы, следовательно, для оператора не существует обратный оператор .

2. Приведение матрицы к диагональному виду.
ТЕОРЕМА 1. Сумма собственных значение матрицы А, равна сумме её диагональных элементов, а произведение собственных значений равно определителю матрицы.

Рассмотрим случай размерности . Выпишем характеристическое уравнение:

или .

По теореме Виета и .

Если матрица А имеет треугольный или диагональный вид, то собственные значения в точности совпадают с диагональными элементами. Поставим задачу привести данную матрицу к диагональной или треугольной форме не меняя собственных значений.

Квадратная матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица такая, что – диагональная.

ТЕОРЕМА 2. Пусть А – квадратная матрица порядка имеет линейно независимых собственных векторов. Если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы , тогда матрица имеет диагональный вид, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А, то есть

.

Пример. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов . Найти вектор валовой продукции при заданном , где

; .

► Для решения вопроса о продуктивности матрицы следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

.

Следовательно, ; . Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов продуктивная. Для определения вектора валовой продукции имеем формулу . Найдем обратную матрицу для матрицы

.

Обозначим , тогда . Следовательно,

.◄

Пример. (Простая модель обмена). Пусть имеется система отраслей производства , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е. . Рассмотрим матрицу коэффициентов :

,

где .

Матрица со свойством (сумма элементов ее любого столбца равна единице), называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть - цена одной единицы продукции отрасли , а - вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ее продукции определяется как

.

Чтобы отрасль могла развиваться, ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ее продукции, т.е. :

.

Если искомые равновесные цены существуют, то система данных неравенств выполняется для них как система равенств:

Данную систему удобно записать в матричном форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор матрицы обмена , отвечающий ее собственному значению , представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Пример. (Модель международной торговли). Пусть имеется система стран , бюджет каждой из которых равен соответственно . Обозначим через долю бюджета , которую страна тратит на закупку у страны . Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е. .

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

,

где .

Матрица со свойством (сумма элементов ее любого столбца равна единице), называется структурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран , обеспечивающий равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран участниц.

Для любой страны , выручка от внешней и внутренней торговли определяется как .

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е.

.

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то данная система неравенств выполняется для них как система уравнений:

Данную систему можно записать в матричной форме

или .

Матричное уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли , отвечающей ее собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Пример. Экономическая система состоит из трех отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

.

Найдите вектор равновесных цен.

► Найдем собственный вектор , матрицы , отвечающий ее собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

Решив ее, найдем . Полагая , находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли: , где параметр можно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей. ◄

Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

.

Найдите соотношение бюджетов этих стран для сбалансированной торговли.

► Найдем собственный вектор , матрицы , отвечающий ее собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную однородную систему линейных уравнений, получим . Полученный результат означает, что при бюджеты стран определяются как , и сбалансированность торговли трех стран достигается при следующем соотношении бюджетов .◄

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найдите бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной торговли при условии, сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

► Найдем собственный вектор , матрицы , отвечающий ее собственному значению , решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

.

Решив данную систему получим . Полученный результат означает, что при бюджеты стран определяются как . Подставив найденные значения в заданную систему бюджетов, получим , откуда . Окончательно находим искомые величины стран при бездефицитной торговле (в усл. ден. ед.): ◄

§6. Симметрические операторы. Квадратичные формы и их применения

1. Симметрические операторы и их свойства. Линейный оператор называется симметрическим, если для любых векторов выполняется .

Перечислим основные свойства симметрического линейного оператора:

1.Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе симметрична.

2.Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

3.Всякому собственному числу кратности k симметрического оператора соответствует линейно независимая система из k собственных векторов.

4.Для всякого симметрического линейного оператора существует базис в пространстве , состоящий из его собственных векторов.

2. Билинейные и квадратичные формы. Билинейной формой на пространстве называется отображение , сопоставляющее каждой паре векторов число, причём:

.

Всякую билинейную форму можно задать с помощью матрицы билинейной формы:

То есть, .

Замечание. Обычное скалярное произведение также является билинейной формой и соответствует единичной матрице .

Если положить для билинейной формы, то полученное отображение называется квадратичной формой на пространстве . Таким образом, квадратичной формой переменных , принимающих числовые значения, называется числовая функция вида

,

где - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.

Матрицей квадратичной формы переменных , называется симметрическая матрица порядка , элементы главной диагонали которой совпадают с коэффициентами при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в ой строке ом столбце, равен половине коэффициента при в квадратичной форме.

Рангом квадратичной формы называется ранг её матрицы. Квадратичная форма может быть записана в матричном виде где матрица квадратичной формы и .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если коэффициенты при , то есть, если матрица квадратичной формы диагональная и следовательно

.,

где не все коэффициенты равны нулю.

ТЕОРЕМА (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Алгоритм приведения квадратичной формы к главным осям:

1.Построить матрицу квадратичной формы.

2.Найти собственные числа и векторы, записать квадратичную форму (коэффициентами при квадратах новых переменных будут найденные собственные числа).

3.Нормировать собственные векторы и записать матрицу перехода от старого базиса к новому (а именно, состоящему из найденных векторов).

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если при всех и положительно (отрицательно) полуопределённой, если при всех .

ТЕОРЕМА (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны, то есть, чтобы

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом: