Решение. Найдем сначала y', как описано в п.4.2.

Найдем сначала y', как описано в п.4.2.

,

,

,

= .

Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство , получим:

.

Отсюда найдем y'' и подставим найденное выражение для y': ,

y'' =– = = =

= .

Итак, y' =– ,

y'' = .

Подставим x=0 в исходное уравнение , получим:

, откуда y =1, значит,

y (0)=1; y' (0)=– ; y'' (0)= = .

6. Правило Лопиталя

Рассмотрим новый способ нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа и , так называемое правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя 1 (раскрытие неопределенностей типа ). Пусть функции , определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, причем для любого x из этой окрестности, и пусть , (следовательно, , – бесконечно малые при ). Если существует, то существует и

= . (6.1)

Пример 6.1. Найти .