Дисперсионные характеристики

Как известно, дисперсионные зависимости собственных волн в фотонно-кристаллических структурах существенно отличаются от дисперсионных зависимостей собственных волн в однородных материалах [22]. Наличие усиления или поглощения в материале, из которого изготовлен фотонный кристалл, меняет характеристики распространения волны в структуре, при этом может наблюдаться также усиление или поглощение. Эти эффекты могут использоваться, например, в лазерах. Обычно наличие усиления связывается с отрицательной мнимой частью показателя преломления, что характерно для усиливающей среды.

Для описания преобразования векторов электрического и магнитного полей при перемещении от одной плоскости к другой удобно использовать формализм матриц передачи [5]. В частности, матрица М₁ описывает преобразование от плоскости P к плоскости R, матрица М₂ описывает преобразование от плоскости R к плоскости S и произведение матриц М₁М₂ описывает преобразование поля на периоде (рис.3.1). Вследствие периодичности системы поля в плоскостях P и S могут различаться на множитель, определяющий фазовый набег на периоде и возможное вследствие усиления или непропускания изменение амплитуды. Следовательно, соответствующие собственные волны можно ввести посредством выражения:

где матрица M соответствует матрице передачи:

,

(3.1)

где j – номер слоя, h – толщина слоя, n – показатель преломления, p=(w/c)ncos(q)=((w/c)n-b)^{1/2 –}поперечное волновое число, b –продольная постоянная распространения вдоль оси z [11]. Для волны распространяющейся в положительном направлении и для волны распространяющейся в отрицательном направлении существуют два собственных значения матрицы передачи l₁ и l₂, где . С помощью собственных значений матрицы передачи возможно определить волновой вектор Блоха (аналог параметра Флоке, он же постоянная распространения:

.

Очевидно, что действительные значения K_Б соответствуют распространению, в то время как мнимая часть K_Б характеризует затухание (усиление). Выражения для собственных значений и собственных волн имеют вид:

,

Таким образом, получаем точное решение для дисперсионного уравнения, основанное на методе матриц передачи. Результаты, которые можно получить применяя это точное решение, хорошо согласуются с аналитическим методом, позволяющим получить приближенное дисперсионное уравнение. В этом случае используется одномерное уравнение Гельмгольца и разложение поля по плоским волнам (волнам Блоха). Показатель преломления, в этом случае, раскладывается в ряд Фурье. Дисперсионное уравнение, позволяющее проследить зависимость волнового вектора от частоты, имеет вид:

,

где e_m – диэлектрическая постоянная соответствующей гармоники. Границы полосы, в этом случае, определяются выражением:

.

Для сред с усилением значения волнового вектора становятся комплексными даже при частотах, соответствующих распространяющимся волнам в случае сред с действительным показателем преломления. Поэтому необходимо рассматривать действительную и мнимую части волнового вектора одновременно и при учете направления распространения волн. Дисперсионные характеристики одномерного фотонного кристалла, для двух направлений распространения, возможных в фотонном кристалле (прямой и встречной волн), приведены на рис.3.2. Действительная часть волнового вектора соответствует распространению, мнимая – затуханию (усилению). Пока мнимая часть волнового вектора равна нулю или отрицательна для сред с усилением (положительна для встречной волны), распространение электромагнитного излучения разрешено. Об этом же свидетельствует, монотонно изменяющаяся, действительная часть волнового вектора. Как только частота достигнет критического значения, мнимая часть волнового вектора становится положительной (либо отрицательной для встречной волны) и, следовательно, этот диапазон соответствует запрещенной зоне. Действительная часть волнового вектора здесь остается неизменной. Границы между зоной распространения и запрещенной зоной выглядит, как скачек в дисперсионных характеристиках.

а) б)

Рис.3.2. Дисперсионные характеристики одномерного фотонного кристалла, рассчитанные аналитическим методом. Сплошная линия характеризует среду без усиления n₂=2.5, пунктирные линии – усиливающую среду n=2.5-i0.01. Мелким пунктиром обозначена линия для волны распространяющейся вдоль оси z, крупным пунктиром – линия для волны распространяющейся в обратном направлении.