💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Проходные задачи для подготовки к экзамену

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

1. Найти расстояние от точки М₀ до заданной прямой L₀.

2. Через точку М₀ провести прямую L параллельно заданной прямой L₀.

3. Через точку М₀ провести прямую L ортогонально заданной прямой L₀.

4. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

5. Найти расстояние от точки М₀ до заданной плоскости П₀.

6. Через точку М₀ провести плоскость П параллельно заданной плоскости П₀.

7. Через точку М₀ провести плоскость П ортогонально заданной плоскости П₀.

8. Через точку М₀ провести прямую L перпендикулярно плоскости П₀.

9. Через точку М₀ провести (хотя бы одну) прямую L параллельно заданной плоскости П₀.

10. Через точку М₀ провести (хотя бы одну) плоскость П параллельно заданной прямой L₀.

11. Через точку М₀ провести плоскость П перпендикулярно заданной прямой L₀.

12. Найти расстояние между параллельными плоскостями.

13. Через точку М₀ провести плоскость П параллельно прямым L₁ и L₂.

14. Вычисление скалярного и векторного произведений в ПДСК.

15. Вычисление векторного произведения в ПДСК.

16. Смешанное произведение векторов в ПДСК.

В О П Р О С Ы для подготовки к

экзамену первого семестра

по аналитической геометрии для студентов первого курса

факультета математики и информатики.

Специальность: математика - 6.040201.

1. Линейные операции над векторами. Свойства.

Доказать () = ().

2. Линейные операции над векторами. Свойства. Доказать: () = .

3. Линейные операции над векторами. Свойства. Доказать (α + β) = α + β .

4. Проекция вектора на прямую. Свойства. Доказать: проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

5. Проекция вектора на прямую. Свойства. Доказать: постоянный множитель можно выносить за знак оператора проектирования.

6. Проекция вектора на прямую. Свойства. Доказать: проекции вектора на параллельные прямые равны.

7. Проекция вектора на прямую. Свойства. Доказать: равные векторы имеют равные проекции.

8. Проекция вектора на ось. Свойства. Доказать: равные векторы имеют одинаковые проекции на ось.

9. Проекция вектора на ось. Свойства. Доказать: проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту ось.

10. Проекция вектора на ось. Свойства. Доказать: постоянный множитель можно выносить за знак оператора проектирования вектора на ось.

11. Линейная комбинация векторов. Доказать единственность разложения вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

12. Линейная комбинация векторов. Доказать единственность разложения вектора по трём некомпланарным векторам.

13. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Доказать: коммутативность скалярного произведения.

14. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Доказать: постоянный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

15. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Каким образом знак скалярного произведения зависит от величины угла между перемножаемыми векторами?

16. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Выражение модуля вектора через скалярное произведение.

17. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Доказать: дистрибутивность скалярного произведения.

18. Дать определение скалярного произведения векторов. Перечислить свойства. Доказать теорему о необходимом и достаточном условии ортогональности двух векторов.

19. Доказать формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ПДСК.

20. Простейшие применения скалярного произведения. Показать на примере параллелограмма.

21. Векторное произведение векторов. Свойства. Доказать дистрибутивность [ ()] = [ ]+ [ ].

22. Геометрический способ построения векторного произведения единичного вектора на произвольный вектор.

23. Векторное произведение векторов. Свойства. Доказать: постоянный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

24. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами в ПДСК.

25. Смешанное произведение векторов. Перечислить свойства. Доказать одно из перечисленных свойств.

26. Понятие правой тройки векторов.

27. Геометрическая интерпретация смешанного произведения.

28. Вычисление смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в ПДСК.

29. Вычисление площади треугольника, заданного координатами своих вершин в пространстве.

30. Вычисление объёма тетраэдра, заданного координатами своих вершин в пространстве.

31. Теорема о задании прямой на плоскости её общим уравнением Ах+Ву+С=0.

32. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов «к» и «в».

33. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

34. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором.

35. Уравнение прямой в отрезках.

36. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

37. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

38. Нормированное уравнение прямой на плоскости.

39. Переход от общего уравнения прямой к её нормированному уравнению. Нормирующий множитель.

40. Уравнение прямой в векторной форме.

41. условие параллельности двух прямых на плоскости.

42. Условие ортогональности двух прямых на плоскости.

43. Угол между двумя прямыми на плоскости.

44. Координаты точки пресечения двух прямых на плоскости. Возможные случаи. Чертёж.

45. Уравнение пучка прямых на плоскости.

46. Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости.

47. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

48. Взаимное положение отрезка с заданными концами относительно прямой на плоскости. Возможные случаи. Чертёж.

49. Неполное уравнение прямой.

50. Теорема о задании плоскости в пространстве её общим уравнением.

51. Параметрические уравнения плоскости.

52. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

53. Уравнение плоскости в отрезках.

54. Нормированное уравнение плоскости. Нормирующий множитель.

55. Отклонение точки от плоскости.

56. Взаимное расположение отрезка и плоскости в пространстве.

57. Условие параллельности двух плоскостей в пространстве.

58. Условие ортогональности двух плоскостей в пространстве.

59. Угол между двумя плоскостями в пространстве.

60. Расстояние от точки до плоскости.

61. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

62. Задание прямой в пространстве точкой и направляющим вектором.

63. Прямая в пространстве, как линия пересечения двух плоскостей.

64. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

65. Координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве.

66. Угол между двумя прямыми в пространстве.

67. Точка пересечения двух прямых в пространстве. Возможные случаи.

68. Угол между прямой и плоскостью.

69. Проекция прямой на плоскость.

70. Проекция точки на плоскость.

71. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве.

72. Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве.

73. Общий перпендикуляр двух прямых в пространстве.