Свойства. § Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов

§ Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

§ Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .

§ Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.

§ Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A |.

§ С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

§ Мощность декартова произведения:

§ Формула включения-исключения в простейшем виде:

Мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества A обозначается через | A |

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:

1. | A | = | B |, или A и B равномощны;

2. | A | > | B |, или A мощнее B, т. е. A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;

3. | A | < | B |, или B мощнее A, в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.

Ситуация, в которой A и B не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой | A | > | B | и | A | < | B |, невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.