Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Методы представления множеств
|
|
Дискретная математика. Математическая логика и теория алгоритмов.
1. Множества
Множество - совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.
Объекты, из которых состоят множества, называются их элементами.
Принадлежность элемента a множеству P записывают так:
a ∈ P
Если же элемент a не принадлежит множеству P, то пишут:
a ∉ P.
Множество может содержать любое число элементов, конечное и бесконечное.
Множество может содержать один элемент и не содержать ни одного.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ∅.
Методы представления множеств
а) путем прямого перечисления его элементов. При этом перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки и отделяются один от другого запятыми. Например, запись
P = {a, b, c, d}
говорит о том, что множество P состоит из четырех элементов a, b, c, d;
б) при помощи специально сформулированного правила, или свойства, в соответствии с которым всякий объект либо входит в множество, либо не входит (интуитивный принцип абстракции) такое правило называют формой P(х). Множество, задаваемое формой P(x), имеет вид
A = {x / P(x)}.
Например, множество десятичных цифр можно задать следующим образом:
P = {x / 0 ≤ x ≤ 9 ∧ x — целое число},
где слева от наклонной черты записана переменная x, а справа — правило, указывающее, какие значения x образуют элементы, принадлежащие множеству P, и какие не образуют. Читается запись так: «множество P — это все те значения x, которые больше нуля или равны ему, но меньше или равны девяти и являются целыми числами»
Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например:
{a, b, c, d} = {b, c, a, d}.
Элементы этих множеств записаны в различных последовательностях, но наборы элементов совпадают, поэтому множества равны, так как порядок записи элементов, образующих множество, не имеет значения.
Равными могут быть также множества, заданные различными способами. Например:
P = {x / 0 < x < 10, x — простое число},
Q = {2, 3, 5, 7}.
Всякое множество характеризуется величиной, которую называют кардинальным числом, показывающим, сколько элементов содержит множество. Например, если P = {a, b, c}, то его кардинальное число равно:
P = |a b c | = 3
Множества с одинаковыми кардинальными числами называются эквивалентными.
Все элементы множества должны отличаться один от другого, поэтому каждый элемент может входить в множество только один раз.
Диаграммы Венна (диаграммами Эйлера)
В виде замкнутых кривых, ограничивающих области, которым ставятся в соответствие элементы тех или иных множеств.
Если требуется показать, что множества не имеют общих элементов, эти множества изображают непересекающимися кругами.
Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества (иногда используется термин «полное множество». Обозначается оно обычно символом I (либо U). Множество U — это множество всех тех элементов, которые участвуют в данном рассуждении.
На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников, внутри которых размещаются круги, обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств.
|
|