Задание 6. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые; один белый и один черный; хотя бы один белый?

Решение. В данном случае речь идет о совмещении событии А и В,

а) событие А – появление белого шара из первого ящика, событие В – появление белого шара из второго ящика. При этом А и В – независимые события. Имеем р (А)=2/12=1/6, р (В)=8/12=2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находим

р (АВ)= р (А)∙ р (В)=(1/6)∙ (2/3)=1/9.

б) Пусть

событие А – появление белого шара из первого ящика;

событие В – появление белого шара из второго ящика;

событие С – появление черного шара из первого ящика (С = );

событие D – появление черного шара из второго ящика (D = ).

Тогда р (А)=2/12=1/6, р (В)=8/12=2/3, р (С)= р ()=1-1/6=5/6, р (D)= р ()=1-2/3=1/3.

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика – черный:

р (АD)= р (А)∙ р (D)=(1/6)∙ (1/3)=1/18.

Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика – белый:

р (ВС)= р (В)∙ р (С)=(2/3)∙ (5/6)=10/18=5/9.

Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, - черным. Применяем теорему сложения вероятностей:

р = р (АD)+ р (ВС)=1/18+5/9=11/18.

в) р = р₁ + р₂,

где

р₁ – вероятность того, что оба шара белые (см. случай а);

р₂ – вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, - черным (см. случай б).

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один шар будет белым равна:

р =1/9+11/18=13/18.

Задание 7. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение. Пусть Н ₁, Н ₂, Н ₃ – гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого, второго и третьего ящика; событие А – появление белого шара. Тогда р (Н₁)= р (Н₂)= р (Н₃)=1/3 (выбор любого из ящиков равновозможен); р (А / Н₁)=1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); р (А / Н₂)=10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); р (А / Н₃)=0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика). Искомую вероятность р (Н₁/А) находим по формуле Бейеса:

р (Н₁/А)= .

Задание 8. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Пусть Н ₁, Н ₂, Н ₃ – гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого, второго и третьего ящика; событие А – появление белого шара. Тогда р (Н₁)= р (Н₂)= р (Н₃)=1/3 (выбор любого из ящиков равновозможен); р (А / Н₁)=1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); р (А / Н₂)=10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); р (А / Н₃)=0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика). Искомую вероятность р (А) находим по формуле полной вероятности:

р (А)= р (Н₁)∙ р (А / Н₁)+ р (Н₂)∙ р (А / Н₂)+ р (Н₃)∙ р (А / Н₃)=

=(1/3)∙ 1+(1/3)∙ 1/2+(1/3)∙ 0=1/2.

Задание 9. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0, 7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение. Здесь п =25, р =0, 7, q =0, 3. Следовательно,

, т.е.

Так как т – целое число, то т =18.

Задание 10. Вероятность выхода первого станка из строя в течении рабочего дня равна 0, 03, второго – 0, 04. Какова вероятность того, что оба станка за 5 дней ни разу не выйдут из строя?

Решение. Так как

1-0, 03=0, 97 – вероятность того, что первый станок не выйдет из строя в течении дня, то по теореме умножения вероятностей 0, 97⁵ – вероятность того, что первый станок не выйдет из строя в течении 5 дней.

1-0, 04=0, 96 – вероятность того, что второй станок не выйдет из строя в течении дня, то по теореме умножения вероятностей 0, 96⁵ – вероятность того, что второй станок не выйдет из строя в течении 5 дней.

Тогда вероятность того, что оба станка за 5 дней ни разу не выйдут из строя будет равна р =0, 85∙ 0, 8=0, 68.