Производные и дифференциалы неявно заданных функций

Для функции двух переменных напишем уравнение , (3) которое устанавливает соответствие между ее равноправными переменными и . Такое соответствие порождает неявно заданную функцию (или ). В теории функций нескольких переменных мы получим прямые формулы для вычисления производных таким образом заданных функций. Тем не менее наших знаний достаточно, чтобы уже сейчас вычислять производные этих функций. Для этого надо в формуле (3) вычислить обычную производную по переменной , считая, что это сложная функция, содержащая внутреннюю функцию .

Пример 1. Для функции , заданной неявно уравнением найдите и .

Решение. От функции вычислим производную по переменной и получим и приравняем ее к 0. Отсюда найдем . Вторую производную найдем как производную от первой производной . Подставляя сюда уже найденную первую производную , найдем . С учетом того, что , получим в итоге . Нарисуйте эллипс и посмотрите на геометрический смысл полученных результатов.