Лекция №2. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн

Кафедра

Радиотехники

ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Алматы 2011

СОСТАВИТЕЛИ: Дараев А.М., Хорош А.Х. Теория передачи электромагнитных волн. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальности 5В071900 – «Радиотехника, электроника и телекоммуникации». – Алматы: АУЭС, 2011. – 58 с.

Конспект лекций предназначен для студентов специальности 5В071900 – «Радиотехника, электроника и телекоммуникации» всех форм обучения.

В конспекте лекций по курсу «Теория передачи электромагнитных волн» рассматриваются основные принципы распространения электромагнитных волн в различных средах, основные типы волноводов предназначенных для передачи электромагнитных волн, приведен обзор основных элементов волноводных трактов, а также рассмотрены вопросы согласование элементов волноводных трактов.

Табл. – 2, ил. – 56, библиогр. – 8 назв.

Рецензент: канд. техн. наук, проф. С.В. Коньшин

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский институт энергетики и связи» на 2009 г.

Ó НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г.

Содержание

Лекция №1. Общие положения теории электромагнитного поля. Основные законы электродинамики

В курсе «Теория передачи электромагнитных волн» рассматривается классическая нерелятивистская электродинамика. Это частная версия теории электромагнетизма, в которой основные понятия - напряженности полей, заряды и токи - не выводятся из чего-либо, а постулируются. Кроме того, методы, которые мы будем использовать, справедливы в условиях, когда скорости движущихся тел много меньше скорости света.

Согласно основным положениям макроскопической электродинамики электромагнитное поле (ЭМП) в каждой точке, в каждый момент времени определяется четырьмя величинами: - вектор напряженности электрического поля, В/м; - вектор электрического смещения, Кл/м²; - вектор напряженности магнитного поля, А/м; - вектор магнитной индукции, Тл. Кроме этих четырех векторов в уравнениях электромагнитного поля присутствуют еще две величины: плотность свободного электрического заряда (А/м²) и плотность электрического тока (тока проводимости) (Кл/м³), они характеризуют источники поля - заряды и токи.

Если нет макроскопических перемещений вещества, то плотность тока и плотность заряда связаны уравнением непрерывности:

, (1.1)

выражающим тот факт, что ток проводимости обусловлен движением свободных зарядов. - сила действующая на заряд q.

Векторное поле необходимо для описания электрического поля в материальной среде (например, в диэлектрике) - поле электрического смещения. Магнитное поле в отличие от электрического поля взаимодействует с движущимися заряженными частицами и описывается вектором магнитной индукции .

В результате движения в электромагнитном поле на заряд q действует Сила Лоренца: . Первое слагаемое обусловлено электрическим полем, второе – магнитным.

- характеризует силу тока через единичную площадку перпендикулярную вектору скорости заряженных частиц.

q - объемная плотность заряда в объеме V.

Векторы ЭМП и величины j и r зависят от 3-х пространственных координат и времени t. Они связаны между собой системой уравнений Максвелла:

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

Уравнение (1.2) называют обычно первым, а (1.4) - вторым уравнениями Максвелла Дж. Кларка. (1873 - трактат об электричестве и магнетизме).

Все 4 уравнения - обобщение опытных данных.

Уравнение (1.2) - дифференциальная формулировка закона полного тока и гипотезы Максвелла о токе смещения.

Уравнение (1.3) - закон Гаусса.

(1.4) - закон электромагнитной индукции (Фарадей).

(1.5) - закон неразрывности магнитных силовых линий.

Система уравнений (1.2)-(1.5) справедлива для электромагнитных полей в любых средах, но их недостаточно для решения конкретных задач (неизвестных больше чем уравнений). (1.3) и (1.5) - практически скалярные уравнения. В систему следует включить уравнения, учитывающие влияние среды на протекающие в ней электромагнитные явления, называемые материальными уравнениями (1.6)-(1.8):

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Величиной - абсолютной диэлектрической проницаемостью - характеризуют свойства диэлектриков (веществ, не проводящих электрический ток) неполярных и полярных:

.

Где ε ₀ – электрическая постоянная (ε ₀=10^-9/36π Ф/м),

– относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерная величина) (вакуум, воздух 1; полиэтилен = 2, 25; пресная вода 81).

Свойства магнетиков характеризуют магнитная проницаемость или абсолютная магнитная проницаемость:

.

Где =4 *10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.

Величина может быть меньше 1 и много больше.

У диамагнетиков - уменьшающих поле - < 1 (как правило, близко к единице). К ним относится большинство веществ.

У парамагнетиков, увеличивающих магнитное поле, - незначительно больше 1. (кислоты, азот некоторые металлы и т.д.)

Особый класс веществ - ферромагнетики. У них .

σ (См/м) - удельная проводимость (серебро – 6.1*10⁷, медь – 5.7*10⁷).

Уравнение (1.8) называют законом Ома в дифференциальной форме.

Уравнения (1.6)-(1.8) охватывают электромагнитные свойства достаточно большого числа сред, но многие свойства реальных веществ не учитывают, т.е. соотношения прямой пропорциональности между и , и - в линейных средах могут нарушаться.

В диэлектрике нелинейная зависимость наблюдается каждый раз, когда становится очень высокой и возникает электрический пробой.

Нелинейные свойства в обычных условиях проявляют сегнетодиэлектрики.

Особый интерес представляют материальные среды, в которых векторы и - неколлинеарные. В этом случае свойства среды зависят от направления распространения ЭМВ через нее - анизотропные среды (ферриты, ионосфера и т.д.)

Для описания их свойств используют тензорную форму и , например, в декартовой системе координат:

.

Все прочие можно считать изотропными средами.

Процесс измерения любого поля - в сущности, извлечение некоторой энергии из поля, т.е. необходимо определить, как связана энергия поля с величинами, характеризующими поле.

Согласно макроскопической теории поля электромагнитная энергия распределена в пространстве, занятом полем, с некоторой объемной плотностью таким образом, что электромагнитная энергия, содержащаяся в объеме V, выражается в виде объемного интеграла:

. (1.9)

W - полный запас энергии ЭМП внутри объема V в фиксированный момент времени (измеряется в Дж).

Изменяться во времени эта энергия может за счет двух процессов:

1) Она может внутри данного объема превращаться другие, неэлектромагнитные формы энергии (тепловая, химическая, кинетическая ускоренных частиц...) или возникать из неэлектромагнитных форм.

2) Эта энергия, оставаясь электромагнитной, может вытекать из данного объема (или втекать в него) через поверхность S, ограничивающую данный объем.

Первый процесс характеризуется мощностью потерь Р_ПОТ.

Второй - мощностью излучения S.

, (1.10)

, (1.11)

где

(1.12)

вектор плотности потока мощности электромагнитного поля - вектор Пойнтинга (1884 - английский ученый)

Величины Р_ПОТ и S могут быть положительными и отрицательными (отрицательность Р_ПОТ - идет превращение других видов энергии в электромагнитную; отрицательность S показывает, что в данный объем поступает энергия из внешнего пространства). Выражения (1.11)-(1.12) справедливы для любых сред.

Величина объемной плотности электромагнитной энергии

.

Мощности тепловых потерь

,

где ρ – объемная плотность мощности тепловых потерь

.

Теорема Остроградского-Гаусса:

токи и заряды являются источниками ЭМП, а также сами возникают под действием поля. На практике приходится учитывать также токи и заряды, которые вызываются внешними источниками и практически не зависят от возбужденного ими электромагнитного поля.

Такие токи принято называть " сторонними" и векторное поле плотности сторонних токов следует ввести, как заранее заданную функцию в уравнения Максвелла, а также в уравнение Умова-Пойнтинга:

,

где .

Соотношение Умова-Пойнтинга представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для электромагнитного поля

Так как в большинстве практических задач материальные среды можно считать линейными, то в них будет справедлив принцип суперпозиций ЭМП: если частные решения уравнений Максвелла, то решением будет и сумма вида .

Решение уравнений можно значительно упростить, если исключить временную переменную.

Для упрощения уравнений Максвелла вводится величина

(1.13)

называемой комплексной диэлектрической проницаемостью данного вещества, которая учитывает и проводящие и поляризационные свойства.

Рисунок 1.1 – Угол диэлектрических потерь

Действительная часть - интенсивность процесса поляризации, мнимая - плотность токов проводимости (потери) (см. рисунок 1.1).

В комплексной плоскости (см. рисунок 1.1) - угол диэлектрических потерь (в справочниках обычно приводят tg ):

.

На частотах СВЧ диапазона для хороших диэлектриков tg =10^-5¸ 10^-4, если tg > 10^-3 - диэлектрик принято считать плохим.

При анализе гармонических полей удобней использовать комплексный вектор Пойнтинга:

. (1.14)

Действительная его часть равна плотности потока мощности усредненной за период (действительный вектор, который определяет направление переноса энергии):

.

Если комплексный вектор Пойнтинга чисто мнимый, то процесс не переносит мощности (перенос реактивной мощности).

Лекция №2. Плоские электромагнитные волны. Поляризация волн

Рассмотрим бесконечное трехмерное пространство, в котором отсутствуют свободные заряды r=0 и с заданными электродинамическими параметрами , одинаковыми во всех точках. Гармонически изменяющийся электромагнитный процесс будет описываться системой уравнений Максвелла. Из уравнений (1.2)-(1.5), путем математических преобразований, выводится уравнения Гельмгольца:

. (2.1)

Уравнение (2.1) – однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Для простоты решения введем параметр:

(2.2)

и будем считать, что: . Кроме того, зависит только от координаты z, то есть: . Тогда решение уравнения (2.1) будет:

, (2.3)

где и корни уравнения (2.2). Распишем их:

,

.

Отсюда: , и выражение (2.3) запишется в виде:

. (2.4)

Выражение (2.4) – однородная плоская волна. Первое слагаемое – волна, распространяющаяся в сторону уменьшения z. Второе – в сторону увеличения. Отсюда величина g – коэффициент распространения.

Плоской называют волну, распространяющуюся вдоль какой-либо координаты и неизменную в каждый фиксированный момент времени в плоскости перпендикулярной этой координате:

.

Параметр b играет роль «пространственной» частоты процесса – коэффициент фазы (1/м). Её период: , где l - длина волны.

Поверхность, удовлетворяющая условию: называется волновой фронт (фазовый фронт, поверхность равных фаз), перемещающийся вдоль оси z с фазовой скоростью:

.

Величина a – коэффициент ослабления плоской волны в среде (1/м).

В расчетах чаще используют погонное затухание:

дБ/м.

Используя второе уравнение Максвелла, найдем Н и подставим величину g:

.

Некоторые выводы:

– в однородной плоской волне векторы Е и Н перпендикулярны;

– и Е и Н перпендикулярны оси распространения – поперечная волна;

– комплексные амплитуды векторов Е и Н в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности Zc.

Zc - характеристическое (волновое) сопротивление:

.

Волновое сопротивление Zc характеризует среду и, в общем случае, не связано с тепловыми потерями.

Определим плотность потока мощности плоской ЭМВ:

,

или с учетом Zс:

.

Рассмотрим, как изменятся приведенные выше соотношения, если среда распространения – вакуум: .

Коэффициент распространения: чисто мнимый (потерь нет). Коэффициент фазы , тогда фазовая скорость не зависит от частоты.

Отсюда Z₀ – действительное, и равно Ом. Векторы Е и Н колеблются в фазе. Отметим, что для атмосферного воздуха это тоже справедливо.

В среде без потерь, но с e> 1, m> 1:

;

.

На практике в СВЧ - диапазоне используют, как правило, диэлектрик с малыми потерями и m» 1. Для расчета основных характеристик плоских ЭМВ в этом случае используются следующие выражения:

,

.

Если tgs< < 1, то есть, в случае малых потерь, , а a – прямо пропорционален w и s:

.

Характеристическое сопротивление в этом случае:

.

Так как Zс – комплексная величина, то векторы Е и Н колеблются не синфазно и угол сдвига фаз приблизительно равен s/2.

В хорошо проводящих средах, даже при постоянстве m_а, абсолютная диэлектрическая проницаемость является функцией частоты: , то есть наблюдается частотная дисперсия.

Говорят, что на заданной частоте wматериальная среда является хорошо проводящей (металлоподобной), если:

s¤w> > e_а, (2.5)

то есть плотность токов проводимости значительно превышает плотность токов смещения и поляризационных токов.

Как следствие на низких частотах неидеальные диэлектрики и полупроводники становятся металлоподобными (сухая почва при частоте f=1МГц ведет себя как хорошо проводящая среда). Но даже на самых высоких частотах радиодиапазона неравенство (2.5) выполняется для металлов с большим запасом.

В хорошо проводящей среде можно приближенно считать:

.

Тогда .

Используя выражение, перейдем к a и b:

.

Обе величины сильно зависят от w, дисперсия ярко выражена:

;

.

Характеристическое сопротивление:

.

Величина означает, что в проводнике вектор Н сдвинут по фазе относительно вектора Е на 45°.

Если a ¹ 0, то амплитуда плоской ЭМВ изменяется вдоль координаты распространения Z по закону .

Расстояние, на котором амплитуда уменьшается в е раз, называют глубиной проникновения или толщиной поверхностного слоя (d):

;

.

На СВЧ диапазоне глубина проникновения очень мала. Для меди на 10ГГц d = 0, 6 мкм, это позволяет использовать тонкие (10-20 мкм) слои хороших проводников для уменьшения потерь.

Частотная дисперсия характерна также для плазмы (ионизированный газ), для нее:

;

;

.

Где n– частота столкновений электронов с нейтральными молекулами,

w_пл – собственная (плазменная) частота, при которой при n = 0, e_а = 0.

,

где Ne – электронная концентрация.

Если потери отсутствуют, то фазовая скорость выражается:

.

Скорость переноса информации (скорость перемещения в пространстве энергии, или медленной огибающей, или группы волн):

,

Эта формула справедлива для узкополосных сигналов (можно применять для радиоимпульсов и т.д.). Такая частотная зависимость приводит к расплыванию (увеличению длительности) импульсов.

Рассмотрим поляризацию волн. Полагаем, что вектор Е имеет две составляющие, и . Найдем положение кривой, которая служит геометрическим местом концов вектора Е суммарного процесса. Перепишем составляющие в виде: , . Возводим их в квадрат и складываем:

.

Это уравнение эллипса, а про волну говорят, что это эллиптически поляризованная волна (см. рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Эллиптически поляризованная волна

В этом случае вектор Е вращается против часовой стрелки, если смотреть с конца i_z – лево поляризованная волна.

Частные случаи:

– Равна нулю одна из составляющих или сдвиг фаз между ними равен нулю. Тогда конец вектора Е перемещается вдоль линии произвольно, в общем случае, ориентированной относительно системы координат. Волна – линейно поляризованная.

– Равны амплитуды Е_m1 = Е_m2, а сдвиг фаз - 90°. Тогда кривая окружность, волну называют волной с круговой поляризацией.

Легко заметить, что суперпозиция двух волн с линейными поляризациями, сдвинутых по фазе и пространственно на 90°, дают эллиптически поляризованную волну, две волны с круговыми поляризациями и противоположными направлениями вращения, в результате суперпозиции дают волну линейно поляризованную.