Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Признак сходимости Даламбера
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, равный : . Тогда: 1) ряд сходится, если ; 2) ряд расходится, если . Доказательство. 1. Пусть сначала . Выберем число , для которого . Тогда существует номер такой, что при всех натуральных выполняется неравенство . Отсюда последовательно получаем: ; ; (*) ; … и т.д. Рассмотрим теперь остаток исходного ряда: (11) Поскольку ряд , образованный геометрической прогрессией со знаменателем , где , сходится (п. 1.3), то в силу неравенств (*) сходится и остаток (11), а значит, и сам ряд. 2. Если , то существует номер такой, что при всех натуральных выполняется неравенство , и общий член ряда не может стремиться к нулю. Следовательно, по необходимому признаку содимости ряд расходится. ■
Замечание. При « признакне работает »: существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся рядов с ( см. ниже п. 1.10 ). Пример. По определению факториала: при . Рассмотрим при фиксированном ряд . Здесь . Имеем . Следовательно ряд сходится. По необходимому признаку сходимости отсюда следует, что . (12) Равенство (12) будет использовано в дальнейшем.
|