Е1,е2,е3 единичные векторы

Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства. Объем параллелепипеда.

Определение: Смешанным произведением 3-х векторов а, в, с называется скалярное произведение (а*[в, с]). (a, b, c)=(a*[b, c])=|a|*|[b, c]|*cosα =|a|*|b|*|c|*cosα *sinβ - Объем параллелепипеда, где α =(а˄ [в, с]), β =(в˄ с).

Свойства: 1. (а, в, с) = (в, с, а) = (с, а, в,) = -(а, с, в) = - (в, а, с) = -(с, в, а); 2. (а1+а2, в, с) = (а1, в, с) + (а2, в, с); 3.(µа, в, с) = µ*(а, в, с); 4. (а, в, с) = 0 – 1)а=0, в=0, с=0, 2)а, в, с = компланарны – необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Замечание: 1.Если 3-ка векторов а, в, с входящих в смешанное произведение (а, в, с) правоориентированная, то смешанное произведение положительно. 2.Если левая, то отрицательна.

Утверждение: 1. Смешанное произведение (а, в, с) равно |Vпараллелепипеда| построенного на а, в, с как на ребрах, т.е. если 3-ка векторов правая Vпар=+V, если левая со знаком минус.

Смешанное произведение трех векторов. Его выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе.

е1, е2, е3 единичные векторы

а={α 1, α 2, α 3}, b={β 1, β 2, β 3}, c={µ1, µ2, µ3}

(a, b, c)=(α 1*e1+ α 2*e2+ α 3*e3+ β 1*e1+ β 2*e2+ β 3*e3+ µ1*e1+ µ2*e2+ µ3*e3)=

§ Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

§ Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком " минус":