Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.
Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных. Док-во: Необходимость (). Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных. а1, а2, а3, … аn – ЛЗ система векторов, т.е. среди α 1, α 2 , α 3 … α n существует число отличное от нуля так, что ЛК α 1 а1+ α 2 а2+α 3 а3+…+ α n аn= 0. Положим для определения, что коэффициент α 1 ≠ 0. Разделим обе части последнего равенства на α 1 ≠ 0: ; . Отсюда следует, что а1 - ЛК остальных векторов. Необходимость доказана. Достаточность (). Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ. Пусть α n = α 1 а1+ α 2 а2+α 3 а3+…+ α n-1 аn-1. α 1 а1+ α 2 а2+α 3 а3+…+ α n-1 аn-1- 1α n = 0. Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а1, а2, а3, … аn - линейно зависима. Ч.т.д. Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима. Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а1, а2, а3, … аn, Ө, где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а1+ 0· а2+0· а3+…+ 5·Ө = 0. Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ. Ч.т.д.
Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима. Док-во: Рассмотрим систему векторов а1, а2, …, ак, ак+1 … аn, где а1, а2, …, ак - линейно зависимый кусочек. α 1 а1+ α 2 а2+ … +α как= 0. Есть коэффициент отличный от нуля. Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство α 1 а1+ α 2 а2+…+α к ак+…+0· ак+1+…+ 0·α n = 0. Отсюда следует, что система векторов ЛЗ. Ч.т.д.
|