Х 213 x39 мм

/900 г

150x240x39 мм / 500 г 350 х 165 х 43 мм

/ 1000 г

11.5.6. Теорія полярного планіметра

Спростимо зображення планімет-

ра, як це зроблено на рис. II. 5.9. Нехай

AnBn=R - обвідний важіль; ОАп -

полюсний важіль; А„ - точка з'єднання

цих важелів; Вп - точка, якою обводять

контур; О - полюс планіметра. Від-

ліковий механізм на рис. II. 5.9 зо-

бражено потовщеним штрихом, від-

даленим від точки Ап на відстань г.

Відрізок г є продовженням обвідного

важеля АПВП. Нехай обвідна точка В„

суміщена з точкою криволінійного

контуру, а початковий відлік від-

лікового механізму становить т„. До-

Рис. II. 5.9. До розгляду теоріі пустимо, що обвідний важіль дещо

полярного планіметра

> 214

І оризонтальнв знімання

переміститься паралельно до початкового положення і займе нове положення

Л|В'. При цьому механічне колесо відлікового механізму повернеться на

величину h, обвідна точка з точки Вп переміститься в точку В', а точка А„ опише

дугу А„Аі радіусом кола R. Оскільки h - дуже мала величина, відрізок

Вважатимемо прямою.

Далі припустимо, що обвідний важіль повернеться навколо точки А, на

незначний кут а, і займе положення АіВь Водночас лічильне колесо

відлікового механізму повернеться в протилежному напрямку на дугу га,. Між

початковим положенням важелів ОАВ і новим ОА|В] розташована площа Р|. Цс

: юіца паралелограма АпВпВ'Аі та двох кругових секторів з радіусами R та R|.

< К кільки площа першого сектора АіВ'В, - ASi = 0, 5R2ai, другого - AS..

0.5-R, 2-p, і площа паралелограма AS3 = Rh, тоді

P1=R-h + - | (R 2-a1 + R? -р,). (II.5.1)

Під час описаних переміщень важелів відлікове колесо лічильного

механізму пройшло шлях h - гаї. Якщо позначити одну поділку планіметра І,

нка дорівнює 1/1000 частині від довжини ободу відлікового колеса і, якщо

початковий відлік піл, а новий відлік шь тоді шлях, який пройшло лічильне

Колесо, буде t-(mn -m,). Тому

h — гаї = t-(mn-mi). (II.5.2)

Звідси

h = t (mn - mi) + г а ь (ІІ.5.3)

Отже, площа паралелограма дорівнює

AS3 = R t (m n - m,) + RTa,. (II.5.4)

Площу елементарної фігури ОАпВпВТЗіАіО знайдемо як суму площ

паралелограма та двох кругових секторів. Тобто

Р, = R t (mn - mi) + R r ai + 0, 5 R2a, + 0, 5 R, 2 p,. (II.5.5)

Площа всієї фігури дорівнюватиме

Р = Rt(mn - m,) + R r a i + 0, 5R2a, + 0, 5-R, 2p, +

Rt(m, - m2) + R r a 2 + 0, 5R2a2 + 0, 5R, 2p2 +

+ у (11.5.6)

Rt(mK - rrvO + R r a K + 0, 5-R2aK + 0, 5Ri2-pK.

Звідси знайдемо

P = Rt-(mK-mn) + RrZa1 + 0, 5R2Iai + 0, 5R, 2ip„ ^ (II.5.7)

и m„, mK - відповідно початковий та кінцевий відліки планіметра, тобто відліки

планіметра до та після обведення контуру.

Залежно від того, всередині чи ззовні фігури полюс, можливі два

випадки:

Розділ II

Перший випадок. Якщо полюс планіметра всередині фігури, площу якої

шзначають, то важіль, описавши коло після обведення контуру, знову

ювернеться в початкове положення. При цьому І а = і р = 2-к і формула (ІІ.5.7)