Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x ₁, n ₁), (x ₂, n ₂), …, (x_k, n_k), где x_i откладываются на оси абсцисс, а n_i – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1). Рис. 1.

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Определение 15.1. Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F* (x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

, (15.1)

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F (x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F (x) определяет вероятность события X < x, а F* (x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F* (x) стремится по вероятности к F (x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F (x), а именно:

1) 0 ≤ F* (x) ≤ 1.

2) F* (x) – неубывающая функция.

3) Если х ₁ – наименьшая варианта, то F* (x) = 0 при х ≤ х ₁; если х_к – наибольшая варианта, то F* (x) = 1 при х > х_к.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице (рис.2).
Ри

Билет 22.