Критерий Михайлова

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D_з(s) = A(s) + B(s)^.e^-ts.

2) Подставляется s = jw: D_з(jw) =Re(w) + Im(w).

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D_з(jw) и строится кривая на комплексной плоскости.

Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рисунок 1.43), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ¥ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

Пример. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид (см. предыдущий пример):

D(s) = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

После подстановки s = jw получается выражение для годографа Михайлова:

D(jw) = 2(jw)⁴ + 5(jw)³ + 10(jw)² + 6 jw + 1 = 2w⁴ - 5jw³ - 10w² + 6 jw + 1 =

= Re_D(w) + j^.Im_D(w),

где Re_D(w) = 2w⁴ - 10w² + 1 – действительная часть выражения годографа,

Im_D(w) = - 5w³+ 6w - мнимая часть.

Далее, варьируя частоту w от 0 до бесконечности, рассчитываются точки годографа (см. таблицу 1.3) и на комплексной плоскости строится кривая (см. рисунок 1.44).

Таблица 1.3

Рисунок 1.44

Годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере. ¨