Понятие устойчивости линейных систем

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Необходимое и достаточное условие устойчивости формулируется следующим образом: Звено или система называются устойчивыми, если переходная составляющая с течением времени стремится к нулю:

.

Если выходной сигнал звена или системы y(t) рассматривать как сумму двух составляющих

y(t) = y_уст + у_п(t),

где - установившееся значение y(t), у_п(t) – переходная составляющая, то у_п(t) = y(t) – y_уст.

Рисунок 1.40

Если у_п(t) с течением времени стремится к бесконечности, звено или система называются неустойчивыми. Другими словами:

.

Примеры переходных процессов для каждого случая приведены на рисунке 1.41.

Рисунок 1.41

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий;

2) критерий Стодола;

3) критерий Гурвица;

4) критерий Найквиста;

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем, однако не являются достаточными для однозначного определения устойчивости.

Критерий Гурвица является алгебраическим и может быть использован для определения устойчивости как отдельных звеньев, так и замкнутых систем без запаздывания. При этом он позволяет обойтись без определения корней характеристического полинома, который может иметь достаточно большую степень.

Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.