Замечание: Вообще говоря, для бесконечномерного банахова пространства B в условиях теоремы линейный оператор e – f : B ® B не обязан быть сюръективным.

Если B = Rⁿ, то, как известно из курса алгебры, инъективность линейного оператора равносильна его обратимости, т.е. из инъективности оператора в конечномерном пространстве следует его сюръективность. Поэтому получаем

Следствие (об обратимости матрицы). Пусть А Î M(n, R ) и || A || < 1. Тогда матрица I_n – A обратима.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор j: ⁿR ® ⁿR, определённый правилом j( x ) = A· x. Это – линейный оператор с матрицей A относительно стандартного базиса e₁, …, e_n пространства ⁿR, где

e_i = (0; …; 0; 1; 0; …; 0)^t

– вектор-столбец с единицей на i- м месте и нулями на остальных. Этот оператор будет сжимающим: " x Î ⁿR || j( x ) || = || A· x || £ || A || · || x ||и || A || < 1, так что в условии сжимаемости оператора j можно взять c = ||A|| Î [0; 1). По теореме о сжимающих линейных операторах, оператор e – j обратим. Его матрицей в стандартном базисе e₁, …, e_n будет I_n – A, что и доказывает её обратимость.

Лемма доказана.

Примеры: 1. Для матрицы A = имеем

|| A || ₂ = ,

|| A || _¥ = max{|0, 5| + |0|, |–0, 45| + |0, 9|} = 1, 35,

|| A || ₁ = max{|0, 5| + |–0, 45|, |0| + |0, 9|} = 0, 95 < 1.

Таким образом, матрица I – A = обратима. Об этом свидетельствует неравенство нулю её определителя и || A || ₁ . Остальные нормы не позволяют сделать вывод об обратимости матрицы I – A.

2. Для матрицы A = имеем

|| A || ₂ = < 1,

|| A || _¥ = max{|0, 2| + |0, 2|, |0, 9| + |0, 3|} = 1, 2,

|| A || ₁ = max{|0, 2| + |0, 9|, |0, 2| + |0, 3|} = 1, 1.

Таким образом, матрица I – A = обратима. Об этом свидетельствует неравенство нулю её определителя и || A || ₂ . Остальные нормы не позволяют сделать вывод об обратимости матрицы I – A.

Эти примеры показывают, что для решения задач полезно использовать весь спектр норм: некоторые не помогут, но возможно, какая-то из них и облегчит решение задачи.