Метод касательных для монотонных выпукло-вогнутых функций

1. полагаем x₀ = , D₀ = b – a;

2. пусть уже известны x_n, D_n;

3. если f(x_n) = 0, то корень найден, процесс завершён;

4. если D_n £ D и |f(x_n)| £ D, то процесс завершён, x_n – приближённое значение корня;

5. если D_n–1 > D или |f(x_n)| > D, то x_n+1 = x_n – – точка пересечения с осью абсцисс касательной y = f(x_n) + f¢ (x_n)·(x – x_n) к графику функции в точке (x_n; f(x_n)), D_n+1 = x_n+1 – x_n, возврат к шагу 2.

Здесь функция не предполагается дважды дифференцируемой: символ f¢ ¢ использован лишь для краткого обозначения знака выпуклости-вогнутости (f¢ ¢ > 0 означает, что f выпукла вниз, а f¢ ¢ < 0 – что f выпукла вверх). Таким образом, в случаях б), в) нужно положить x₀ = a, а в случаях а), г) – соответственно x₀ = b.

Теорема (о методе касательных). Пусть известен отрезок [a; b], в котором заключён ровно один корень уравнения f(x) = 0, где функция f непрерывно дифференцируема, строго монотонна, всюду выпукла или вогнута на [a; b] и f(a)·f(b) < 0. Тогда последовательность {x_n}_{n Î N}, определённая по методу касательных, сходится к корню r Î [a; b]. Если f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b], то метод касательных имеет квадратичную скорость сходимости.

Доказательство. Для доказательства сходимости заметим, что последовательность {x_n}_{n Î N} монотонна.

Для определённости проведём рассуждения в случае в): функция f убывает и выпукла вниз. Последнее означает, что любая касательная лежит ниже графика функции. Согласно алгоритму, имеем x₀ = a, f(x₀) > 0. Если положить g = b, то f(g) < 0, т.е. x₁ Î [x₀; g] и f(x₁) > 0. Пусть уже доказано, что x₀ £ x₁ £ … £ x_k < g и f(x_i) > 0 (0 £ i £ k). Тогда x_k+1 – точка пересечения с осью абсцисс касательной к графику функции в точке (x_k; f(x_k)) – лежит между x_k и g, т.е. x_k+1 ³ x_k. Кроме того, поскольку касательная лежит ниже графика функции, а в точке x_k+1 касательная пересекает ось абсцисс, то f(x_k+1) > 0.

Итак, последовательность {x_n}_{n Î N} монотонна и ограничена (лежит на [a; b]), так что она имеет предел x. Переходя к пределу в неравенстве f(x_n)·f(g) < 0, получаем f(x)·f(g) £ 0, поэтому f(x) ¹ f(g), x ¹ g. Кроме того, f¢ (x) ¹ 0. Действительно, например, в случае в) равенство f¢ (x) = 0 вместе с условиями убывания функции, выпуклости вниз и f(x) ³ 0 означало бы, что f(b) ³ 0, вопреки f(a)·f(b) < 0. Теперь предельный переход в формуле x_n+1 = x_n – даёт x = x – Û = 0, т.е. f(x) = 0 и x = r.

Оценим скорость сходимости, рассматривая величину

|x_n+1 – r| = .

По формуле Тейлора, f(x_n) = f(r) + f¢ (r)·(x_n – r) ·(x_n – r)² + u(x_n – r), где , т.е. u(x) = o(|x|²). Аналогично, записывая по формуле Тейлора f¢ (x_n) = f¢ (r) + f¢ ¢ (r)·(x_n – r) + v(x_n – r), где v(x) = o(|x|), получим:

При этом величина ограничена. Это следует из существования предела .

Теорема доказана.

Замечание: Для квадратичной сходимости метода касательных существенно наличие второй производной у функции. Действительно, рассмотрим функцию f(x) = на интервале [–1; 1]. Она непрерывно дифференцируема, возрастающая, выпукла вниз, но не имеет второй производной в своём корне – точке r = 0. Применение метода касательных даёт следующие результаты:

Поведение величины x_i+1 / x_i² обусловлено тем, что

| x_i+1 – 0 | = | x_i – 0 – | = | x_i – | = | |.

Поэтому .

Примеры: 1. Для многочлена f(x) = 32·x³ – 48·x² + 22·x – 3 уточнить значение корняна отрезке [0; 0, 34] с точностью D = 0, 01. Точное значение корня, равно 0, 25.

Здесь f¢ (x) = 22 – 96·x + 96·x², f¢ ¢ (x) = –96 + 192·x. Легко понять, что f¢ ¢ < 0 и f¢ > 0 на [0; 0, 34]. Применяем метод касательных, беря x₀ = 0.

Приближённое значение корня 0, 25, поскольку D₄ < 0, 006 < 0, 01 и f(x₄) £ –0, 001 < 0, 01.