Комбинированный метод секущих и касательных

Заключается в совместном применении метода хорд и касательных.

Теорема 8. Пусть:

1. f(x)

2. f(a)f(b)< 0

3. f^’(x) и f^’’(x) знакопостоянны на [a, b]

4. итерационная последовательность построена по формулам:

x_2n=x_2n-2- , x_2n+1=x_2n-1- , n .

x₁= x₀=

Тогда, итерационная последовательность сходится к x_c, где x_c- корень уравнения (1) и причем единственный на [a, b].

Рассмотрим, как оценить погрешность комбинированного метода. При выполнении условий теоремы, приближения с четными и нечетными номерами лежат по разные стороны от искомого корня. Поэтому, для оценки погрешности данного метода можно воспользоваться неравенством:

| x_n+1-x_c|≤ |x_n+1-x_n|, n

X

x_n x_c x_n+1

Если - требуемая точность и |x_n+1-x_n|≤ , то в качестве искомого приближенного значения можно взять любое число из отрезка [a, b].

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача приближенного решения уравнения ? Как конкретизируется метод последовательных приближений для решения этой задачи? Что означает отделение корня уравнения и как оно производится?

2. Как строится последовательность приближений в методе половинного деления? В чем его геометрический смысл? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций метода половинного деления. Запишите алгоритм половинного деления.

3. Как преобразуется решаемое уравнение к виду, удобному для применения метода простой итерации? Как строится последовательность приближений в методе простой итерации? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода простой итерации. В чем состоит геометрический смысл метода простой итерации?

4. Как строится последовательность приближений в методе касательных? Сформулируйте и обоснуйте условия применимости и условия окончания итераций для метода касательных. В чем состоит геометрический смысл метода касательных?

5. Как строится последовательность приближений в методе хорд? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для метода хорд. В чем состоит геометрический смысл метода хорд?

6. С чем связано появление комбинированного метода хорд и касательных? Как строятся последовательности приближений в комбинированном методе хорд и касательных? Сформулируйте условия применимости и условия окончания итераций для комбинированного метода. В чем состоит геометрический смысл комбинированного метода?

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

3. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

4. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.