Оценка остаточного члена интерполяционного полинома.

Погрешность интерполяционного полинома определяется выражением .

В узлах интерполяции . В остальных точках .

Для получения формулы оценки погрешности предположим, что функция является n +1 раз непрерывно дифференцируемой, и рассмотрим функцию (5)

Эта функция принимает в n +1 узлах интерполяции x_i нулевые значения (u (x_i) = 0, т.к. P_n (x_i) = f (x_i), w _n (x_i) = 0). Подберем коэффициент k так, чтобы в некой точке функция u (x) также принимала нулевое значение: . (6)

Предположим, что . Тогда функция принимает нулевые значения на концах каждого из (n +1) интервала [ ], [ ], …, [ ], [ ], …, [ ]. Тогда согласно теореме (если непрерывно дифференцируемая функция на концах отрезка принимает одинаковые значения, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка, в которой производная равна нулю) первая производная имеет по крайней мере n +1 нулевое значение, вторая производная имеет по крайней мере n и, наконец, (n +1)-я производная имеет по крайней мере одно. Пусть . Продифференцируем выражение (5) (n +1) раз:

Подставив , получим

Отсюда (7)

Приравнивая правые части равенств (6) и (7), получим .

Учитывая, что - произвольная точка из [ a, b ], то можно записать .

Введя обозначение , получим окончательно .