Численное дифференцирование. Численное дифференцирование применяется, если функцию y=f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например

Численное дифференцирование применяется, если функцию y = f (x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например, если она задана таблично. Численное дифференцирование используется также при решении дифференциальных уравнений разностными методами.

При численном дифференцировании функцию f (x), заданную на отрезке [ a, b ], аппроксимируют на этом отрезке легко вычисляемой функцией φ (x) и полагают, что . При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим аппроксимацию интерполяционным полиномом Ньютона.

Пусть на отрезке [ a, b ] известно n +1 значение y_i^* = f (x_i^*) функции f (x) в точках x = x_i^*, i = 0, 1, …, n, x ₀ ^* = a, x_n^* = b, x_{i +1} ^* = x_i^* + h и пусть требуется приближенно определить k -ю производную f ^{( k )}(x) в некоторой точке x отрезка [ a, b ], такой, что x_I^* £ x £ x_{I +1} ^*, где 0 £ I £ n - 1.

Выберем среди множества { x_i^* } m +1 последовательно расположенных узлов x_R^*, x_{R +1} ^*, x_{R +2} ^*, …, x_{R + m}^*, таких, что x_R^* £ x £ x_{R + m}^*. Введя обозначения x ₀ = x_R^*, x ₁ = x_{R +1} ^*, x ₂ = x_{R +2} ^*, …, x_m = x_{R + m}^*, t_i = x - x_i, y_i = f (x_i), i = 0, 1, …, m, запишем полином Ньютона степени m:

= =

=

При аппроксимации интерполяционным полиномом Ньютона полагается (1)

Здесь

…

В этой сумме m - k +1 слагаемых.