Розглянемо систему нелінійних рівнянь з невідомими

(1)

де – деякі нелінійні функції.

Якщо ввести позначення та , систему (1) можна записати в матричному вигляді:

. (2)

Системи нелінійних рівнянь розв’язуються ітераційними методами, які є узагальненням методів розв’язку одного рівняння .

(А): Метод простої ітерації

У методі простої ітерації ітераційна формула має вигляд:

. (3)

Збіжність методу простої ітерації залежить від вдалого вибору початкової точки та вектора , де деякі константи.

Зупинимось більш детально на системі двох рівнянь з двома невідомими:

(4)

Саме такі системи необхідно розв’язати в даній лабораторній роботі.

Приведемо систему до вигляду зручного для застосування методу простої ітерації та методу Зейделя:

,

або позначивши , одержимо:

(5)

Тоді ітераційна формула в методі простої ітерації має вигляд:

(6)

– початкове наближення.

(Б): Метод Зейделя

Метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що в ньому полібшення кожного наступного наближення відбувається покоординатно, а в методі простої ітерації повекторно. Як правило збіжність у методі Зейделя більш висока.

Для системи (5) ітераційна формула за методом Зейделя має вигляд:

(7)

де – початкове наближення.

Умовою досягнення заданої точності в методах (А) та (Б) є:

збіжність за евклідовою нормою.

Для системи двох рівнянь (5) ця умова матиме вигляд:

(8)

Можна також використати умову мінімізації нев’язки:

. (9)

Оскільки достатні умови збіжності ми не розглядали, то, якщо точність не досягається за задану кількість ітерацій, обчислювальний процес переривається з повідомленням “точність не досягнуто, рішення не знайдено”. В цьому випадку потрібно повернутись до системи (4) і спробувати уточнити початкову умову, або більш вдало вибрати .