Теоретичні відомості. Задача Коші для диференційного рівняння першого порядку має вигляд:

Задача Коші для диференційного рівняння першого порядку має вигляд:

. (1)

Розв’язати диференційне рівняння (1), це значить знайти на відрізку функцію , яка при підстановці її в рівняння та початкову умову перетворює їх в тожність.

Типи рівнянь, для яких можна знайти точне рішення охоплюють невелику частину задач, які виникають на практиці. Тому потрібні чисельні методи розв’язку задачі Коші (1).

Загальний підхід чисельного розв’язку диференційних рівнянь, це розбити відрізок на частинні відрізки точками , потім на кожному частинному відрізку замінити похідну деяким її різницевим наближенням та одержати замість диференційного рівняння систему кінцево-різницевих рівнянь. Розв’язавши цю систему одержимо систему точок . Чисельним розв’язком є ламана лінія, що з’єднує ці точки.

(А): Метод Ейлера

На частинному відрізку замінимо , одержимо , звідки

. (2)

Формула (2) описує реалізацію методу Ейлера.

Цей метод має перший порядок точності (порядок апроксимації). Його похибка дорівнює , або, що теж саме, .

(Б): Полагоджений метод Ейлера

В практичних обчисленнях частіше застосовується модифікований метод Ейлера.

На частинному відрізку замінимо похідну на середнє арифметичне похідних (нахилів) на кінцях відрізка і одержимо розрахункову формулу полагодженого методу Ейлера:

.

При програмуванні краще використовувати більш поетапну модифікацію цієї формули:

. (3)

Метод має другий порядок точності, його помилка апроксимації дорівнює .

(В): Модифікований метод Ейлера

У модифікованому методі похідну на частинному відрізку замінюють нахилом в середній точці відрізка. Рекурентні співвідношення мають вигляд:

. (4)

Цей метод також має другий порядок точності з помилкою апроксимації .

(Г): Метод Рунге-Кутта четвертого порядку

На практиці найбільш часто використовують саме цей метод, що описується системою співвідношень:

. (5)

Помилка апроксимації методу , тому його називають методом Рунге-Кутта четвертого порядку.

Оцінка похибки чисельних методів розв’язку диференційних рівнянь

Слід відзначити: наближеним рішенням є функція, яка задана множиною точок . Це означає, що похибку потрібно оцінювати для кожної із цих точок.

Для практичної оцінки похибки в точці використовують правило Рунге подвійного перерахунку:

,

де та наближені рішення, обчислені в точці з кроком та , - точність чисельного методу.

Для методу Ейлера

. (6)

Для полагодженого та модифікованого методів Ейлера

. (7)

Для методу Рунге-Кутта

. (8)

Знайти наближене рішення з заданою точністю , це значить підібрати такий крок , щоб виконувалась умова:

. (9)

На практиці діють одним з двох способів.

1 Забезпечення точності з постійним кроком ()

Вибирають деякий досить малий крок . В кожній точці роблять подвійний перерахунок з кроками та і оцінюють похибку.

Якщо умова (9) не виконується, то за нове беруть і повторюють подрібнення кроку до тих пір, доки умова (9) не буде виконана.

2 Забезпечення точності з автоматичним вибором кроку()

Вибирають деякий досить малий крок . В першій точці роблять подвійний перерахунок з кроками та і оцінюють похибку. Величину подальших кроків вибирають за одним з двох правил:

(10)

(правило трьох зон).

(11)

Якщо невдалим був вже перший крок, то його зменшують (перший крок повинен завжди бути вдалим).

Індивідуальні завдання

Розв’язати запропонованим чисельним методом задачу Коші:

.

На відрізку забезпечити точність розв’язку . Побудувати графік наближеного рішення (табл. 6).

Таблиця 6 – Варіанти завдань

Номер варіанту					Метод	Спосіб забезпечення точності (1- ; 2- )
					А
					Б
					В
					Г
					А
					Б
					В
			-1		Г
					А
					Б
					В
					Г
					А
					Б
					В
					А
					Г
					Б
			-1		А
					Б
					В
					Г

Продовження таблиці 6

					А
					Б
					В