Решение краевой задачи для дифференциального уравнения.

Пусть имеется дифференциальное уравнение второго порядка

.

Решение уравнения требуется найти на интервале [0; 1], причём известно, что у(0)=у₀, у(1)=у₁. Понятно, что произвольный интервал [a, b] заменой переменных может быть сведен к единичному.

Для решения краевой задачи обычно применяют метод стрельб, позволяющий свести решение краевой задачи к задаче Коши. Пусть k некоторый параметр, такой что y¢ (0)=k. Для некоторого пробного значения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге-Кутты. Мы хотим найти такое значение параметра, чтобы выполнялось условие y(1, k)=y₁. Фактически мы свели исходную задачу к задаче решения трансцендентного уравнения с таблично заданной функцией. Если найдены такие значения параметра k ₁ и k ₂, что y(1, k₁)> y₁ и y(1, k₂)< y₁, то дальнейшее уточнение значения параметра можно проводить методом деления отрезка пополам.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения при условиях и .

При значениях параметров .

Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:

· v – вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий,

· xmin, xmax – границы интервала, на котором ищется решение,

· D(x, y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения

· load(xmin, v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления

· score(xmax, y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному.

Наша задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Поэтому функция D имеет вид

Задаем граничные условия:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, индекс о должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины:

На левой границе интервала нам известно значение и задано начальное приближение для . Это значение записано в . Задаем вектор-функцию load. Ее нулевой элемент – начальное значение для , первый – для .

Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed