Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Наискорейший спуск






    Допустим, что переход из точки в точку происходит по направлению с шагом . Точка определеяется координатами , а следующая точка – координатами , где . При этом косинусы направлений такие, что . (5.11)

    Возникает задача: как выбрать направление d, чтобы получить наибольшее изменение функции df при соблюдении условия (5.11) т.е. с ограничением. Логично предположить, что направление наиболее быстрого изменения функции- это направление роста градиента функции. Изменение значений функции определяется соотношениями

    (5.12)

    Чтобы получить наибольшее изменение функции , т.е. решить задачу определения максимума функции с ограничением, используем метод множителей Лагранжа для поиска функции

    или .

    На основе метода df достигает max, если φ достигает max. Берем производную от φ

    (j =1, 2, …, n) и приравниваем ее нулю, получаем ,

    следовательно,

    . “Направления” совпадают с градиентами функции f(x) в точке x, или g(x).

    Для min - f(x) или – g(x). Уравнение (0) можно записать так , где Θ – угол между векторами g(x) и dx. Угол выбран Θ =1800 , чтобы обеспечить направление – g(x):

    .

    Значение λ i, минимизирующее функцию φ, может быть найдено любым методом одномерного поиска. В чистом виде метод работает медленно и не надежно. Но прежде чем перейти к более эффективным методам, рассмотрим свойства квадратичных функций.

    F(x)= , где a – константа, b – постоянный вектор, G – положительно определенная симметрическая матрица.

    min в точке .

    Поставим задачу так, что в окрестности точки х0 любую функцию φ (х) можно аппроксимировать квадратичной функцией:

    Пусть min φ (x) находится в точке хm

    Берем производную и приравниваем ее к нулю.

    , откуда:

    , т.е. в итерационном виде:

    , а с учетом множителей Лагранжа:

    .

    Видим, что по сравнению с методом наискорейшего спуска требуется умножение

    на G-1(xi), а это самая трудоемкая операция метода.

    Но если проводить умножение на H i, а не на G-1(x i) , то получим метод Давидона – Флетчера – Пауэлла (ДФП). - симметрическая положительно определенная матрица. В ходе вычислений она приближается к матрице .

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.