Метод парабол (метод Симпсона)

Это наиболее широко известный и применяемый метод численного интегрирования.

Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола (рис. 1. 3).

Рис. 1. 3

Формулу Симпсона выведем проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом площади.

.

Действительно, определяя y₀, y₁, y₂:

имеем ,

т.е. (I.5)

окончательно

или

(I.6)

Последняя формула (I.6) называется формулой Симпсона.

Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.

Задания. Вычислить определенный интеграл , пользуясь одним из указанных преподавателем методом численного интегрирования, приняв n =12.

№ варианта	a	b	f(x)
	0.6	1.5
	1.2	2.832
	1.3	2.956
	2.8	4.408
	0.8	2.528
	-0.52	1.58
	0.2	2.12
	1.5	3.42
	1.1	2.876
	0.31	1.93
	1.5	3.18
	-1.3	0.476
	1.0	2.76
	2.4	4.08
	1.82	3.464
	1.5	3.24
	1.4	3.008
	-0.2	1.252
	0.15	1.878
	-0.52	1.58
	0.3	1.844
	3.5	4.94
		1.44
	5.1	6.54
	1.42	2.98

2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл.

Уравнение с одним неизвестным в общем виде можно записать так:

, (2.1)

где f(x) – определена и непрерывна в некотором интервале [a, b].

Всякое значение X^*, обращающее функцию f(x) в нуль (f(X^*)=0), называется корнем уравнения (2.1).

Будем предполагать, что уравнение имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов.

1) Отделение корней. Отделить корни – это значит разбить всю область на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень.

Отделение корней можно произвести аналитически или графически.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнение, разделяют их на два класса: алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если для получения ее значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем.

Трансцендентные функции – показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая.

2) Уточнение корней до заданной точности.

Сформируем теоремы, которые необходимы для отделения коней.

Теорема 1. Если непрерывна функция y=f(x) принимает на концах отрезка [a, b] значение разных знаков, т.е. f(a)f(b)< 0, то на этом отрезке содержится по меньшей мере один корень уравнения (2.1) (рис. 2.1)

Рис. 2.1

Теорема 2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f ’ (x) сохраняет знак внутри отрезка [a, b], то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0 (рис. 2.2)

Рис. 2.2

Для того, чтобы графически отделить корни уравнения f(x)=0 строят график функции y=f(x). Действительные корни уравнения можно определить как абсциссы точек пересечения кривой с осью (рис. 2.3)

Рис. 2.3

Практически бывает более выгодным заменить уравнение (2.1) равносильным ему уравнением , где и более простые функции, нежели f(x).

Рис. 2.4

Пример.

Отделить графически корень уравнения

.

Решение.

Запишем уравнение в виде .

Рис. 2.5

Из графика следует, что корень уравнения находится на отрезке .

Графический метод дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня. Далее корень уточняется одним из способов описанных ниже.