Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления

Обычно задачу вычисления величины в зависимости от известного значения величины записывают в виде , где и – элементы соответствующих множеств, а – оператор, реализующий вычисление.

Определение 1.1. Задачу вычисления будем называть корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого множества решение задачи существует, единственно и устойчиво по входным данным (то есть непрерывно зависит от входных данных задачи).

В результате, исходная задача может быть записана в виде , где каждому элементу соответствует элемент . Заметим, что если некоторому соответствует более одного , то для каждого из них целесообразно рассматривать отдельную задачу вычисления. В первую очередь в курсе численных методов интерес представляют корректно поставленные задачи.

Сделаем несколько замечаний об устойчивости решения. В задачах вычисления рассчитывается значение , соответствующее входным данным . В реальных условиях имеются возмущенные входные данные, заданные с погрешностью , то есть и в результате вычислений рассчитывается возмущенное решение . Погрешность порождает неустранимую погрешность решения . Если решение непрерывно зависит от входных данных, то всегда при и задача устойчива по входным данным.

Отсутствие устойчивости или слабая устойчивость решения (сильное влияние вычислительной погрешности на результат вычисления) означает, что даже «небольшим» погрешностям могут соответствовать «большие» погрешности , то есть решение, полученное в результате выполнения расчетов, будет сильно отличаться от истинного. Устойчивость вычислительного процесса – это свойство, характеризующее скорость накопления суммарной вычислительной погрешности. Применять численные методы непосредственно к неустойчивой задаче бессмысленно, однако и не любую формально устойчивую задачу удобно решать практически. Пусть имеет место следующая оценка погрешности , где – достаточно большое положительное число. Данная задача формально устойчива, но неустранимая ошибка решения может быть сравнительно большой. Представленный пример соответствует случаю плохой обусловленности или слабой устойчивости задачи вычисления.