Уточнение корней

На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку его локализации , с заданной точностью . Это означает, что вычисленное значение корня должно отличаться от точного не более чем на величину : .

Рассмотрим основную идею численных методов определения прибли-женных значений корней нелинейных уравнений. Прежде всего, некоторым образом выберем начальное приближение к корню . На основании значения по некоторой формуле вычислим следующее приближение , затем на основании вычислим и т.д. до . При этом основная задача численных методов заключается в обеспечении сходимости последовательности приближенных значений к корню. Каждый шаг приближения называется итерацией (от латинского iteratio – повторение), а сами методы уточнения значения корня – итерационными методами. В результате выполнения серии итераций получается последовательность приближенных значений корня , которая называется итерационной последовательностью.

В общем случае при поиске корня уравнения строится последовательность приближений , такая что . Тогда итерационный процесс сходится к точному значению корня.

Сходимость итерационного процесса означает, что погрешность каждого последующего приближения должна быть меньше погрешности предыдущего приближения, то есть погрешность приближенных значений с каждым шагом должна уменьшаться , и каждое значение должно быть ближе к корню, чем значение . В общем виде данное неравенство можно представить следующим образом:

, (*)

где и – некоторые числа, конкретные значения которых определяются особенностями используемого метода уточнения корня.

От значений и зависит, на сколько при каждой итерации уменьшается погрешность приближенных значений и, соответственно, насколько быстро можно получить приближенное значение корня с заданной точностью. Главным показателем скорости сходимости метода является значение . При погрешность с каждым шагом убывает линейно, в этом случае говорят о линейной сходимости или о сходимости со скоростью геометрической прогрессии. Если , то говорят, что имеет место квадратичная сходимость и т.д. Скорость сходимости является важнейшей характеристикой итерационного процесса.

Определение 2.1. Последовательность сходится с линейной скоростью или со скоростью геометрической прогрессии, если существует число , , такое, что .

Определение 2.2. Последовательность сходится со сверхлинейной скоростью, если существует последовательность , , такая, что .

Определение 2.3. Последовательность сходится с квадратичной скоростью, если существует число , такое что .

Определение 2.3 может быть распространено на любые случаи сходимости, для которых в неравенстве (*) показатель степени .

Для некоторых из рассматриваемых далее методов определения корней нелинейных уравнений требуется знакопостоянство не только первой, но и второй производной соответствующих функций на отрезках локализации корней. Методы, в которых используются только значения функции , называются методами нулевого порядка. Методы, использующие и , называются соответственно методами первого и второго порядка.