Порядок выполнения работы. Задаем число элементов матрицы

Задаем число элементов матрицы

.

Устанавливаем счетчики столбцов и строк

; .

Присваиваем элементам хорошо обусловленной матрицы Ag значения

.

Выясняем вид матрицы Аg

.

Присваиваем значения матрицы свободных членов

.

Проверяем невырожденность матрицы

.

Вывод: матрица невырожденная.

Объединяем матрицы Ag и Bg в полную матрицу для приведения к треугольному виду

.

.

Приводим полученную полную матрицу к треугольному виду, необходимому для решения прямым методом Гаусса

.

.

Разделяем полную матрицу на матрицу коэффициентов и столбец свободных членов, полученные после приведения к треугольному виду

.

Решаем СЛАУ прямым методом Гаусса

.

Находим коэффициент обусловленности матрицы Аg

, ,

, ,

.

Вывод: матрица хорошо обусловлена.

Проверяем правильность нахождения коэффициента обусловленности с помощью стандартной функции пакета MathCad

.

Присваиваем элементам плохо обусловленной матрицы Ab значения

; ;

.

В общепринятых обозначениях элементы матрицы Гильберта записываются иначе:

,

, .

Разница в форме записи вызвана тем, что индексы элементов матриц в MathCad нумеруются, начиная с “0”.

Выясняем вид матрицы Аb

.

Присваиваем значения матрицы свободных членов

.

Проверяем невырожденность матрицы

.

Вывод: матрица невырожденная.

Объединяем матрицы Ab и Bb в полную матрицу для приведения к треугольному виду

.

Приводим полученную полную матрицу к треугольному виду, необходимому для решения прямым методом Гаусса

.

.

Разделяем полную матрицу на матрицу коэффициентов и столбец свободных членов, полученные после приведения к треугольному виду

,

,

,

.

Решаем СЛАУ прямым методом Гаусса

.

Находим коэффициент обусловленности матрицы Аb

, ,

, ,

.

Вывод: матрица плохо обусловлена.

Проверяем правильность нахождения коэффициента обусловленности с помощью стандартной функции пакета MathCad

.

Найдем абсолютную погрешность решения СЛАУ, учитывая, что обе системы имеют одинаковые корни

,

,

.

Найдем относительную погрешность решения СЛАУ, учитывая, что обе системы имеют одинаковые корни

,

,

.

Найдем теоретическое значение относительной погрешности, положив точность задания свободных членов, равной 10^-6

.

,

,

.

Определить погрешности вычисления корней, округлив столбец свободных членов до 10^-5, 10^-4. Результаты численных экспериментов свести в таблицу.

Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Матрицу коэффициентов и столбец свободных членов хорошо обусловленной матрицы с размерностями 4х4, 5х5, 6х6.

2. Решение СЛАУ (столбец).

3. Значение коэффициента обусловленности для хорошо обусловленной матрицы.

4. Матрицу коэффициентов и столбец свободных членов плохо обусловленной матрицы с размерностями 4х4, 5х5, 6х6.

5. Решение СЛАУ (столбец).

6. Значение коэффициента обусловленности для плохо обусловленной матрицы.

7. Значения погрешностей вычисления при различных точностях задания столбца свободных членов (10^-4, 10^-5, 10^-6).

8. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Описать алгоритм прямого метода Гаусса.

2. Описать алгоритм обратного метода Гаусса.

3. Получить оценку числа арифметических операций для прямого хода метода Гаусса.

4. Получить оценку числа арифметических операций для обратного хода метода Гаусса.

5. Дать определение стандартного числа обусловленности.

6. Привести вывод оценки погрешности решения в зависимости от погрешности задания вектора правых частей.

7. Привести вывод зависимости оценки погрешности решения от погрешности задания матрицы.

8. Привести вывод оценки погрешности решения в случае возмущения матрицы и вектора правых частей.

9. Доказать, что .

10. Привести примеры матриц, для которых .