Алгоритм треугольного разложения положительно определенных симметричных матриц и его применение для решения СЛАУ

Алгоритм называют еще алгоритмом Холесского разложения матриц. Он применим к симметричным положительно определенным матрицам.

Напомним, что матрица называется симметричной, если , т.е. .

Матрица A называется положительно определенной, если скалярное произведение для всех ненулевых векторов, или, что то же самое, . Такие матрицы часто встречаются в приложениях. В типичной ситуации произведение представляет собой энергию некоторой физической системы, которая положительна для любого вектора x состояния системы.

Приведем для справки два критерия положительной определенности матрицы.

Критерий Сильвестра. Для того чтобы симметричная матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ведущие (угловые) миноры этой матрицы были положительными:

Для того, чтобы матрица была положительно определенной, достаточно, чтобы , ; и для всех строк матрицы A выполнялось свойство диагонального преобладания:

Кроме того, известно, что у положительно определенной матрицы и только у нее все собственные значения положительны.

Теорема (о разложении Холесского). Если симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственно ее треугольное разложение вида , где L - нижняя треугольная матрица вида

, , ,

a - транспонированная по отношению к L матрица вида

.

На основе этой теоремы может быть построен алгоритм вычисления разложения, который мы приводим без вывода (так называемый алгоритм в форме скалярных произведений).

,

.

Элементы матрицы L рассчитывают в следующем порядке: , , , , , , , , , и т.д., выбирая одну из формул, приведенных выше.

Варианты заданий