Теоретические сведения. Цель– научиться использовать численные методы нахождения приближенного значения определенного интеграла функции y=f(x) в среде Microsoft Excel.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В СРЕДЕ MICROSOFT EXCEL

Цель – научиться использовать численные методы нахождения приближенного значения определенного интеграла функции y=f(x) в среде Microsoft Excel.

1. С помощью среды программирования Excel найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n (n=12 для всех вариантов).

2. Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

3. Для методов трапеций и Симпсона оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.

Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

практически не всегда возможно. Может случиться, что первообразная F(x) не выражается через элементарные функции или выражается слишком сложно. В этих случаях приходится обращаться к методам приближенного интегрирования, т.е. к методам, позволяющим найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

Одним из методов приближенного интегрирования является метод прямоугольников. Сущность метода заключается в следующем. Участок интегрирования [a, b] делят на n равных частей и получают точки x₀= a, x₁, x₂, …, x_n-1, x_n= b. Расстояние между соседними точками (шаг) равно

. Площадь криволинейной трапеции, т.е. искомый интеграл, приближенно заменяют суммой площадей прямоугольников, образуемых отрезками разбиения и значениями подынтегральной функции в левых или правых концах этих отрезков.

Формула метода левых прямоугольников имеет вид

Формула метода правых прямоугольников имеет вид

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут приведенные формулы. Однако увеличение отрезков разбиения промежутка интегрирования ведет к усложнению расчетов. Поэтому большой интерес представляют методы, дающие более точные результаты при том же количестве разбиений. Простейшими из таких методов являются методы средних прямоугольников и трапеций.

Если в качестве значений функции использовать средние точки отрезков разбиения, то получим формулу метода средних прямоугольников:

Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции

заменить стягивающей ее хордой, то интеграл можно приближенно заменить суммой площадей элементарных трапеций. Формула трапеций имеет вид:

Для оценки погрешности формул прямоугольников и трапеций кроме интеграла с одинарным шагом I_h вычисляют интеграл с двойным шагом I_2h. Погрешность методов левых и правых прямоугольников оценивается формулой

а погрешность методов средних прямоугольников и трапеций – формулой

Если на каждом сдвоенном отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции

заменить стягивающей ее параболой, то формула Симпсона (парабол) имеет вид:

а погрешность метода парабол оценивается формулой: