Связанные состояния. Частица в ящике

Если частица локализована в ограниченной области пространства, то говорят, что она находится в связанном состоянии.1) Например, две частицы внутри вот этого куска мела находятся в связанном состоянии (они заперты в объёме этого куска), электроны в атоме так же находятся в связанном состоянии. Почему эти состояния важны? А вот потому, что энергия частицы в связанном состоянии может принимать лишь определённые значения 2) (энергия квантуется). Это очень существенное свойство, не имеющее, кстати, классического аналога. Земля вращается вокруг Солнца – строго говоря, её энергия квантуется, просто уровни энергии не заметны, в атомных масштабах заметны. По классическим представлениям энергия системы это определённое число, оно сохраняется, чем это число определяется? Начальными условиями, тем, как возникла эта система. Оно может быть любым, скажем, энергия могла быть чуть больше, чем она есть, чуть меньше, в классической механике это дело не регламентируется никак, всё определяется начальными условиями. А вот электрон в атоме может иметь какое-то значение E_n, которое можно заранее предсказать, и никаких других значений быть не может.3) Формально это проявляется так: уравнение Шрёдингера для стационарных связанных состояний имеет разумные решения лишь при определённых значениях E. Это факт математический, а его физическая интерпретация такая, что только эти значения энергии E могут наблюдаться. Мы сейчас убедимся на простом примере.

Частица в ящике

Мы сейчас смоделируем самое простое связанное состояние. Какое можно придумать самое простое связанное состояние? А вот такое – имеем ящик с абсолютно непробиваемыми стенками, с дверцей. Кинули туда частицу и дверцу захлопнули.1) Как это дело задать теперь математически? Потенциальная энергия в ящике равна нулю, вне ящика потенциальная энергия бесконечно велика, именно это и означает, что стенки ящика абсолютно непробиваемы (самый радикальный вариант связанного состояния). Дальше математика.

Мы рассматриваем стационарное состояние, волновая функция имеет вид: , а для функции (пространственная часть волновой функции) должно выполняться уравнение . В уравнение окружающая обстановка заводится посредством потенциальной энергии. Наша потенциальная энергия задана таким условием:

.

Из того, что стенки ящика абсолютно непробиваемы следует, что частица вне ящика не может находиться, мы тогда пишем сразу вне ящика. А внутри ящика мы получим такое уравнение:

, где .

Это уравнение в частных производных. Будем искать решение в виде

,

то есть пытаемся разделить переменные.

Тогда

,

подставим это в уравнение:

Теперь делим на XYZ, получаем уравнение:

.

Первое слагаемое зависит только от x, а второе только от y, а третье только от z, и утверждается, что в сумме они равны константе. Тогда всё это дело разбивается на такие уравнения:

А это уже знакомые уравнения и мы немедленно находим решения:

Это решение в ящике, мы должны получить решение для всёго пространства, чтобы оно было непрерывным. Это означает, что волновая функция в ящике должна быть устроена так, чтобы она на стенках ящика занулялась. Это условие накладывает такие ограничения:

Займёмся иксом: даёт B ₁=0, то есть константу B ₁ мы выкинем сразу, даёт , это означает, что , n_x =1, 2, 3… (значения A ₁=0 и n_x =0 брать нельзя, потому что тогда мы убиваем всё решение). Таким образом, мы получаем такое условие: , поскольку для остальных функций мы имеем то же самое, то и . Для всей функции u мы получаем множество решений такого вида:

(10)

При этом .

И окончательно результат такой: состояние частицы в ящике задаётся тремя целыми числами, которым соответствует функция (10), и этому состоянию соответствует энергия , где a, b, c это рёбра ящика. Вот что такое квантование, имеем дискретные состояния (тройка чисел задаёт волновую функцию определённой конфигурации) и этим состояниям соответствует энергия. Важно, что нет никаких промежуточных состояний, переходных форм нет. Состояние (1, 1, 1) называется основным, оно имеет минимальную энергию, а максимальная вероятность найти частицу в ящике [для этого состояния] – в середине, то есть вот частица большую часть времени проводит в середине ящика вместо того, чтобы бегать от стенки к стенке.

Если ящик кубический, то формула для энергии имеет вид:

Возможны различные состояния, которым отвечает одна и та же энергия. Состояниям (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2) отвечают различные волновые функции, то есть вероятности обнаружения частицы в точках ящика разные в этих состояниях, но понятно, что им отвечает одна и та же энергия. Уровень энергии, которому отвечают несколько различных состояний, называется вырожденным, в частности, уровень, отвечающий этим трём состояниям, называется трёхкратно вырожденным.