Дифференциальное уравнение теплопроводности

Явления природы вообще можно описать или исследовать на основе феноменологического и статистического методов.

Феноменологический метод описания процессов игнорирует микроскопическое строение и рассматривает вещество как сплошную среду (континуум). Это основной метод ТМО.

Молекулярно-кинетический или статистический метод рассматривает вещество, состоящее из большого числа молекул, атомов, ионов с заданными свойствами и с законами взаимодействия между ними. Аналитическая теория теплопроводности игнорирует молекулярное строение вещества.

Метод математической физики заключается в том, что ограничивается промежуток времени dτ и из всего пространства рассматривается элементарный объём dV. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин (от температуры) и упростить математические зависимости. С математической точки зрения dV и dτ – бесконечно малы, а с физической они являются величинами ещё достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение вещества.

Дифференциальное уравнение теплопроводности есть аналитическое решение температурного поля (формула (1.1)). Для его вывода предполагаем, что температурное поле трёхмерное и нестационарное. Для упрощения считаем, что теплофизические коэффициенты в пределах dV и dτ постоянны. Рассмотрим элементарный объём с гранями dx, dy и dz. В декартовой системе пронизывается тепловым потоком в трёх направлениях x, y и z. Причём . Из гипотезы Фурье количество теплоты, воспринимаемое гранью вдоль оси Х

. (2.1)

Количество теплоты, выходящее в направлении оси Х

(2.2)

.

Разница подведённого и отведённого количества теплот за dτ в направлении ОХ представляет собой количество теплоты, воспринятое dV вдоль ОХ путём теплопроводности

. (2.3)

По аналогии, вдоль осей ОY и OZ:

,

.

Тогда полное количество теплоты, подведённое теплопроводностью к dV:

. (2.4)

В скобках – оператор Лапласа второго порядка .

Теплота, помимо теплопроводности в dV может быть подведена от внутренних источников (электрический ток, ядерная или химическая реакция). Мощность этих источников обозначаем как . Тогда общее количество теплоты, полученное dV, будет:

.

С другой стороны это количество теплоты идёт на увеличение теплосодержания (энтальпии) dV для изобарного процесса (для изохорного – на изменение внутренней энергии)

.

Приравняем:

,

.

Коэффициент температуропроводности: – характеризует скорость изменения температуры в теле или термоинерционные свойства тела.

Окончательно дифференциальное уравнение теплопроводности с учётом внутренних источников теплоты:

, (2.5)

без учёта :

. (2.6)

Стационарный режим:

. – уравнение Лапласа (2.7)

Уравнения (2.5) – (2.6) – дифференциальные уравнения второго порядка, которые описывают бесчисленное множество процессов. Для аналитического решения конкретной задачи необходимо к ним добавить условия однозначности.