Постановка задачи

Задание №4

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Цель работы — изучение методов численного интегрирования, вычисление определенного интеграла от заданной функции методами прямоугольников и Гаусса.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть на отрезке [ a, b ] в точках x ₀ = a, x ₁, …, x_n = b задана функция y_i = f (x_i). Нам необходимо вычислить определенный интеграл вида

Используя определение интеграла как предела интегральной суммы, имеем:

где x_i £ x _i £ x_{i +1} — некая средняя точка интервала x_i, x_{i +1}. Задача интегрирования графически сводится к нахождению площади под графиком функции f (x) на заданном отрезке Рис. 6.1.

Рис. 6.1. Иллюстрация численного интегрирования

Ось х делится на n отрезков длиной D x_i и на каждом отрезке по определенному критерию выбирается точка x _i и вычисляется в этой точке значение функции f (x _i). Площадь определяется суммой площадей полученных прямоугольников. Когда длины отрезков D x_i ® 0, сумма площадей прямоугольников стремится к значению интеграла.

Для численного интегрирования функцию f (x) заменяют такой аппроксимирующей функцией j(х), интеграл от которой легко бы вычислялся. Наиболее часто в качестве аппроксимирующих выступают обобщенные интерполяционные многочлены. Поскольку такая аппроксимация линейна относительно параметров, то функцию при этом заменяют неким линейным выражением, коэффициентами которого служат значения функции в узлах:

где r (x)— остаточный член аппроксимации.

Подставляя это выражение для функции в исходный интеграл (6.1), получим

где

Формула (6.2) называется квадратурной формулой с весами q_i и узлами x_i. Как видно из формулы, веса q_i зависят лишь от расположения узлов, но не от вида функции f (x). Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене функции f (x) произвольным алгебраическим многочленом степени m остаточный член становится равным нулю.

Наиболее известные квадратурные формулы получаются, если выбирать узлы x_i равноотстоящими на отрезке интегрирования. Такие формулы называются формулами Ньютона - Котеса. К форму­лам этого типа относятся известные формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона) и некоторые другие.

В методе прямоугольников функцию f (x) аппроксимируем полиномом нулевой степени

Для вычисления интеграла на отрезке [ а, b ] разобьем его на маленькие отрезки длиной h, а интеграл — на сумму интегралов на отдельных участках.

Тогда для одного участка

где f ₀ — значение функции в середине отрезка. Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется прямоугольником, причем функция вычислена в средней точке отрезка.

Рис. 6.2. Метод прямоугольников

Для i -го отрезка

где f_{i +1/2} = f (a + (i + 1/2) h).

Тогда, окончательно, значение интеграла на [ а, b ]

Если узлы x_i фиксированы (расположены равномерно на [ a, b ]), то в квадратурной формуле (6.2) и веса q_i — фиксированы. Тогда для построения интерполяционного полинома, аппроксимирующего функцию f (x) на [ a, b ] остается лишь (n + 1) независимое условие, т. е. известные значения функции в узлах интерполяции f (x_i). Таким образом, используя эти условия, можно построить многочлен не выше n -й степени. Если же не фиксировать положение узлов, а следовательно, и q_i, то в нашем распоряжении оказываются (2 n + 2) условия, с помощью которых можно построить многочлен (2 n + 1)-й степени.

Так возникла задача нахождения среди всех квадратурных формул с (n + 1) узлами формулы с таким расположением узлов x_i на [ a, b ] и с такими весами q_i, при которых она точна для многочленов максимальной степени. Интуитивно ясно, что погрешность метода тем меньше, чем выше порядок многочлена, при численном интегрировании которого получается точный результат.

Выполним замену переменной ин­тегрирования в исходном интеграле (6.1)

и преобразуем его к виду I = (b-a) J, где

Таким образом мы приводим интеграл на любом отрезке к фиксированному интервалу [0, 1], где и будем искать оптимальное расположение узлов. Такая задача успешно решена и в справочниках для данного интервала приведены расположение узлов t_i и весов A_i, где i= 1, …, m.

Для вычисления интеграла воспользуемся квадратурной формулой следующего вида:

Остаточный член формулы Гаусса с т узлами имеет вид

.

В частности M ₃= 4.960· 10^-7, М₅= 3.945· 10^{- 13} , M ₇ = 6.492· 10^-20, М ₉ = 3.478· 10^-27 , М ₁₀= 5.734· 10^-31 и т.д.

Веса A_i, и узлы t_i квадратурных формул Гаусса имеют значения:

m =3

t ₁= 1 - t ₃=0.112701665, t ₂=0.500000000,

A ₁ = A ₃=0.277777778, A ₂= 0.444444444.

m =5

t ₁= 1 - t ₅=0.046910077, t ₂=1 - t ₄=0.230765345,

A ₁ = A ₅ =0.118463443, A ₂= A ₄=0.239314335,

t ₃= 0.500000000, A ₃=0.284444444.

m =7

t ₁= 1 - t ₇ =0.025446044, t ₂= 1 - t ₆= 0.129234407,

t ₃=1- t ₅=0.297077424, t ₄=0.500000000,

А ₁ =А ₇ =0.064742483, А₂=А ₆ =0.139852696,

А₃= А₅ =0.190915025, А ₄=0.208979592.

m = 9

t ₁ = 1- t ₉=0.015919880, t ₂=1 - t ₈=0.081934446,

t ₃=1 - t ₇ =0.193314284, t ₄= 1 - t ₆ =0.337873288,

t ₅==0.500000000, A ₅=0.165119678,

А ₁ = А ₉ =0.040637194, А₂=А ₈=0.090324080,

А₃= А ₇ =0.130305348, A ₄ = A ₆ =0.156173539.

m =11

t ₁= 1 - t ₁₁ = 0.010885671, t ₂= 1 - t ₁₀ = 0.056468700,

t ₃ = 1 - t ₉ = 0.134923997, t ₄ = 1 - t ₈ = 0.240451935,

t ₅ = 1 - t ₇ = 0.365228422, t ₆= 0.500000000,

А ₁= А₁₁ = 0.027834284, А ₂ = A ₁₀= 0.062790185,

A ₃ = A ₉ = 0.093145105, А ₄ = А ₈ = 0.116596882,

A ₅ = A ₇ = 0.131402272, A ₆ = 0.136462543.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Для вычисления интеграла используем метод прямоугольников с числом узлов от m до 100 и квадратурную формулу Гаусса c m= 5 ÷ 11 узлами. В исходные данные включаются: функция f (x); пределы интегрирования а, b; число узлов m, веса A_i и узлы t_i квадратурной формулы Гаусса.

Вычислить интеграл вида

№		a	b
		0.2	2.5
		1.5
		0.1
		0.1
		0.1