II. Задачи.

Теория колебаний

I. Вопросы.

1. Уравнения дискретных колебательных систем.

2. Автономные системы. Символические уравнения.

3. Фазовое пространство, представление движения, уравнения Лаг­ранжа.

4. Консервативные системы с 1 степенью свободы. Математический ма­я­тник. Метод последовательных приближений.

5. Свободные колебания в нелинейном электрическом контуре.

6. Диссипативные системы с 1 степенью свободы, свободные колебания.

7. Метод ММА, укороченные уравнения, узкополосные процессы.

8. Применение метода ММА к колебательным системам.

9. Вынужденные колебания в системах с 1 степенью свободы. Линейные системы с гармоническим воздействием.

10. Нелинейная консервативная система при гармоническом силовом воз­дей­с­т­вии, гармонический баланс.

11. Генерация высших гармоник при силовом воздействии.

12. Метод ММА при гармоническом силовом воздействии.

13. Параметрическое воздействие на колебательные системы с 1 степенью свободы.

14. Одноконтурные параметрические генераторы и усилители.

15. Автоколебательные системы с 1 степенью свободы, классификация, инерциальная нелинейность, стабилизация амплитуды.

16. Автоколебательные системы томпсоновского типа.

17. Автоколебательные системы с внешним воздействием.

18. Колебательные системы с 2 степенями свободы, парциальные системы и час­тоты.

19. Вынужденные колебания в системах с 2 степенями свободы.

20. Двухконтурный параметрический усилитель.

21. Двухконтурный автогенератор.

22. Затягивание колебаний.

23. Метод вторичного укорочения уравнений ММА.

24. Собственные колебания в консервативных системах с n степенями свободы.

25. Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот.

26. Вынужденные колебания в системах с n степенями свободы.

27. Соотношения Менли - Роу.

28. Колебания в однородных цепочках. Полосовые фильтры.

29. Собственные колебания в распределенных системах.

30. Телеграфные и волновое уравнения, вынужденные колебания в распределенных системах.

31. Лазер как автоколебательная система.

II. Задачи.

1. Масса m движется под влиянием силы тяжести в вер­ти­кальной плоскости по параболе . Найти соб­с­т­вен­ную частоту для малых колебаний. Силы трения нет.

2. Нарисовать фазовый портрет осциллятора, движение ко­то­ро­го описывается уравнением . Оп­ре­­делить период колебаний.

3. Нарисовать фазовый портрет динамической системы, чье поведение описывается дифференциальным уравнением .

4. Диск массой c моментом инерции массы на­са­жен на ступицу радиусом . Ступица диска опирается на кри­волинейную круговую направляющую радиусом . Сос­та­вить дифференциальное уравнение малых свободных ко­ле­баний диска, считая, что при его движении про­с­ка­ль­зы­вание между ступицей и направляющей от­су­т­с­т­ву­ет.

5. Для осциллятора с линейной восстанавливающей силой и нелинейной силой демпфирования вычислить уменьшение амплитуды за каж­дое полное колебание. Найти эквивалентный ко­эф­фи­ци­ент демпфирования.

6. Методом ММА решить задачу о колебании маятника в среде, соп­ротивление которой пропорционально квадрату ско­рости. .

7. Методом ММА решить уравнение Рэлея. .

8. Записать линейное приближение для нелинейного уравнения Рэлея. с помощью метода энергетического баланса.

9. Решить уравнение Ван-дер Поля методом ГБ. Найти ста­ци­о­­нарную амплитуду и выяснить, будут ли колебания с этой ам­­плитудой устойчивыми. .

10. Колебательная система, в которой возможны ав­то­ко­ле­ба­ния, описывается дифференциальным уравнением . Найти амплитуду ста­ци­о­нар­ных колебаний методом гармонического баланса.

11. Колебательная система описывается уравнением , где - фун­к­ция опережения. Найти условия возбуждения системы.

12. Колебания крыла самолета описываются дифференциальным уравнением: , где j - угол атаки крыла. С колебаниями крыла связаны отличные на угол y крутильные колебания крыла . Из условия энергетического баланса определить критическую скорость полета при превышении которой следуют незатухающие колебания (флаттер).

13. Найти зависимость амплитуды колебаний от частоты А = А (w) нелинейного осциллятора под действием внешней вы­нуж­да­ю­щей силы.

14. Рассчитать зависимость амплитуды колебаний от частоты А = А (w) для осциллятора, чье поведение описывается дифференциальным уравнением: .

15. При каких условиях движение осциллятора с восстанавливающей силой, пропорциональной третьей степени отклонения, при гармоническом воздействии является гармоническим с частотой w/3. .

16. Для параметрического генератора с нелинейным затуханием, изображенного на рисунке, получить укороченные уравнения и найти зависимость квадрата амплитуды колебаний от параметров системы в стационарном случае. Сопротивление резистора зависит от тока следующим образом , закон изменения емкости во времени:	R(i)   C(t) L
17. Для параметрического генератора с нелинейным реактивным элементом, изображенном на рисунке, получить укороченные уравнения и найти зависимость квадрата амплитуды колебаний от параметров системы в стационарном случае. Напряжение на емкости зависит от заряда следующим образом , закон изменения емкости во времени:	R     C(t, q) L
18. Найти парциальные частоты, нормальные частоты, коэф­фи­циенты распределения амплитуды и , нор­маль­ные координаты системы с двумя степенями свободы. S - центр тяжести бруска, , - коэффициенты жес­т­кос­ти, - масса бруска.
19. Резиновый жгут длиной 4L натянут с силой F. На расстояниях L от концов жгута и соответственно друг от друга закреплены три бусинки массами m, 2m, m. Сила натяжения F постоянна при колебаниях. Собственный вес жгута пренебрежимо мал по сравнению с F, а вертикальное смещение масс мало по сравнению с длинной жгута. Найти собственные частоты для продольных колебаний, учитывая, что амплитуда продольных колебаний много меньше L.
20. Для осциллятора, изображенного на рисунке найти собственные и парциальные частоты, амплитуду колебаний 2 массы при которой наблюдается гашение колебаний первой массы. Жесткости пружин С1 и С2, массы грузов m1 и m2, точка подвеса колеблется по следующему закону .
21. С помощью метода ГБ, для линейного колебательного контура с периодически меняющейся емкостью и внешним воздействием получить зависимость амплитуды колебаний от параметров системы в случае . Напряжение зависит от времени следующим образом , закон изменения емкости во времени:

22. Найти зависимость частоты от амплитуды колебаний в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью. Поток и ток в катушке связаны соотношением . Потерями энергии в контуре пренебречь.