Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

Знакоопределенность квадратичной формы можно установить, исследуя главные миноры матрицы . Такой способ называется критерием Сильвестра:

Действительная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны:

Действительная квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются, причем :

Пример 4.2.1. Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы.

Решение: Метод Лагранжа заключается в выделении полных квадратов по всем переменным:

Пусть

Тогда исходная квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду

Сделав замену

получим нормальный вид квадратичной формы

Ответ: Квадратичная форма

может быть приведена к нормальному виду

с помощью невырожденного преобразования