Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Определение. Ненулевой вектор линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования f, если выполняется равенство

, (5.4)

где – некоторое число. При этом число называется с обственным значением линейного преобразования f. Говорят также, что есть собственный вектор, принадлежащийсобственному значению .

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе и Х - матрица-столбец из координат вектора , тогда соотношение (5.4) может быть записано в матричной форме

. (5.5)

Принято говорить, что ненулевая матрица-столбец Х является собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим собственному значению .

Уравнение (5.5) может быть переписано в виде

Однородная система уравнений тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда её определитель равен нулю, т.е.

(5.6)

Определение. Уравнение (5.6) называется характеристическим уравнением матрицы А.

Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями её характеристического уравнения.

Предложение. Собственные значения матриц А и А^Т совпадают.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение. Запишем характеристическое уравнение

или . Следовательно, – единственное собственное значение матрицы А. Система уравнений для отыскания собственных векторов сводится к единственному уравнению

,

или . Положим , то ест собственный вектор представляется в виде линейной комбинации

двух линейно независимых векторов

Замечание. Одному собственному значению может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

Решение. Запишем характеристическое уравнение

или откуда . Найдём собственные векторы. Подставим в систему уравнений

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы А и А^* линейного оператора в базисах и связаны соотношением

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример. В базисе оператор f имеет матрицу . Найти матрицу оператора в новом базисе .

Решение. Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица . Следовательно по формуле выше имеем