Интегрирование тригонометрических выражений

Функция R(x, y) – рациональная, если выражение, ее определяющее, содержит целые степени x, y и четыре арифметических действия.

Интегралы вида ò R(sin(x), cos(x)) dx универсальной заменой t = tg(x /2) приводится к интегралам от рациональных функций. Действительно, используя известные тригонометрические формулы, можем записать

sin(x) =, cos(x) =,

dt = (tg(x /2))¢ dx = = (1 + tg²(x /2)),

откуда ò R(sin(x), cos(x)) dx = ò R(,). Интеграл справа – интеграл от рациональной функции, который, как уже знаем, берется до конца.

Пример 1. Найти интеграл ò.

Решение. Делая замену t = tg(x /2), получаем

ò = ò =

= ò = ò = ò =

= ò = ò.

Делая в последнем интеграле замену z = t + 1/3, dz=dt, получаем:

ò = ò dz = arctg(z) + C₁

= arctg((t +1/3)) + C₁ = arctg() + C₁.

Таким образом, полагая C₁ = 3C, окончательно получаем

ò = [arctg() + C₁] =

= arctg() + C.

Отметим, что если

R(–sin(x), cos(x)) º –R(sin(x), cos(x))

или R(sin(x), –cos(x))º –R(sin(x), cos(x)),

то целесообразно применять замену t = cos(x) или t = sin(x) соответственно. Если R(–sin(x), –cos(x)) º R(sin(x), cos(x)), то полезна замена t = tg(x). Указанные замены в этих частных случаях позволяют облегчить процесс взятия интеграла.

Пример 2. Найти интеграл ò dx.

Решение. Здесь

R(–sin(x), cos(x)) º –R(sin(x), cos(x))

Делая замену t =cos(x), получаем

ò dx = ò = –arctg(t) +C = –arctg(cos(x)) +C.

Интегралы типа ò sin ^m (ax)× cos ⁿ (bx) dx, где m, n – целые неотрицательные числа, а также интегралы, содержащие более двух множителей вида sin ^m (ax), cos ⁿ (bx), берутся за счет использования следующих тригонометрических формул:

sin²a =, cos²a =, sin(2a) = 2sin(a)cos(a),

cos(a)× cos(b) = [cos(a+b) + cos(a–b)],

sin(a)× sin(b) = [cos(a–b) – cos(a+b)],

sin(a)× cos(b) = [sin(a+b) + sin(a–b)].

Пример 3. Найти интеграл ò sin²(x)× cos⁴(x) dx.

Решение. ò sin²(x)× cos⁴(x) dx = ò (sin(x)× cos(x))²× cos²(x) dx =

= ò × cos²(x) dx = ò [× ] dx =

= ò [1 –cos(4 x) +cos(2 x) –cos(4 x)× cos(2 x)]dx =

= [ x – + – ò [cos(4 x +2 x) + cos(4 x –2 x)] dx ] =

= [ x – + – (+)]+ C =

= – – + + C.

Пример 4. Найти интеграл ò cos(x)× cos(2 x)× sin(3 x) dx.

Решение. ò cos(x)× cos(2 x)× sin(3 x) dx = ò (cos(3 x)+cos(– x))× sin(3 x) dx =

= ò [cos(3 x)× sin(3 x) + cos(x)× sin(3 x)] dx = ò [sin(6 x) + [sin(4 x) +

+ sin(2 x)]] dx = – [+ + ] + C.

Отметим, что в том случае, когда интеграл нельзя выразить через элементарные функции, его называют неберущимся. Таких интегралов множество. Приведем лишь несколько примеров с указанием названий, употребляемых в литературе:

ò sin(x ²) dx, ò cos(x ²) dx – интегралы Френеля;

ò dx, ò dx – интегральные синус и косинус;

ò – интегральный логарифм.

Неберущимся является также интеграл , играющий важную роль в теории вероятностей.