Интегрирование рациональных дробей

Отношение двух многочленов, где

P_m (x) = a_m x^m + a_{m– 1} x^{m– 1} + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀,

Q_n (x) = b_n xⁿ + b_{n– 1} x^{n– 1} + … + b ₂ x ² + b ₁ x + b ₀,

есть рациональная дробь. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. m< n. В противном случае, разделив числитель на знаменатель, получим сумму многочлена и правильной дроби.

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырех типов:

1-й тип:; 2-й тип:; 3-й тип:; 4-й тип:,

где A, B, C, D, E, F – действительные числа. При этом a – корень Q_n (x), т.е. k – натуральное число, не превосходящее кратности корня a; x ² +px+q – квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом: этому трехчлену соответствуют комплексно сопряженные корни Q_n (x), s – натуральное число, не превосходящее кратности этих комплексно-сопряженных корней.

Разложив рациональную дробь на простейшие, переходят к интегрированию. Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типов сводится к применению табличных интегралов:

ò dx = A× ln | x – a | + C;

ò dx = B × ò (x – a)^{– k} dx = (x – a)^{1– k} + C.

Интегрирование простейших дробей 3-го и 4-го типов проиллюстрируем на примерах. При этом отметим, интегралы от рациональных дробей всегда можно вычислить, и первообразные представляют собой элементарные функции.

Пример 1. Найти интеграл ò.

Решение. Подынтегральную рациональную дробь разлагаем на элементарные дроби:

= = + +,

(дискриминант трехчлена x ²–4 x +5 отрицательный). В разложении фигурируют дроби 1-го, 2-го и 3-го типов. Определим коэффициенты A, B, C, D, для чего приводим сумму справа к общему знаменателю, а затем приравниваем числитель справа к числителю слева:

A (x –2)(x ² – 4 x + 5) + B (x ² – 4 x + 5) + (Cx + D)(x –2)² = A (x ³ – 6 x ² + 13 x – 10) +
+ B (x ² – 4 x + 5) + (Cx ³ – 4 Cx ² + 4 Cx + Dx ² – 4 Dx + 4 D) = (A+C) x ³ +
+ (–6 A + B – 4 C + D) x ² + (13 A – 4 B + 4 C – 4 D)x + (–10 A + 5 B + 4 D) = 1,

Решая эту систему, получаем A = C = 0, B = 1, D = –1. Итак,

ò = ò [– ] dx =

= – – ò dx = – – arctg(x –2) + C.

Пример 2. Найти интеграл ò dx.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей, причем в разложение будут входить лишь дроби 3-го и 4-го типов, поскольку дискриминант квадратного трехчлена x ² + 2 x + 2 отрицательный:

= +.

Если правую часть этого равенства привести к общему знаменателю, то числитель для полученной дроби примет вид

(Ax + B)(x ² + 2 x + 2) + Cx + D = Ax ³ + (2 A+B) x ² + (2 A +2 B + C) x + (2 B+D).

Этот многочлен с неопределенными коэффициентами A, B, C, D должен быть равен x ², откуда следует: A =0, B =1, C=D = –2. Таким образом,

ò dx = ò [ – 2× ] dx =

= ò – ò dx.

Легко видеть, что arctg(x +1) –первообразная для функции. Если в интеграле ò dx ввести новую переменную t = (x +1)² +1, то с учетом равенства dt = 2(x+ 1) dx, получаем ò dx = ò и – = – – первообразная для. Окончательно получаем

ò dx = arctg(x +1) + + C;